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海南专升本往试题及答案

高等数学

选择题

1.函数$y=\frac{1}{x1}$的定义域是（）

A.$(\infty,+\infty)$

B.$(\infty,1)$

C.$(1,+\infty)$

D.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$

答案：D。

详细解答：要使分式有意义，则分母不能为零。在函数$y=\frac{1}{x1}$中，$x1\neq0$，即$x\neq1$，所以定义域为$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$。

2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的值为（）

A.0

B.1

C.2

D.3

答案：D。

详细解答：根据重要极限$\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1$，对$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$进行变形，$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\times\frac{3}{3}=3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}$，令$u=3x$，当$x\to0$时，$u\to0$，则$3\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}=3\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=3\times1=3$。

填空题

1.设$y=x^3+2x+1$，则$y^\prime|_{x=1}=$______。

答案：5。

详细解答：根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n1}$，对$y=x^3+2x+1$求导，$y^\prime=(x^3+2x+1)^\prime=(x^3)^\prime+(2x)^\prime+(1)^\prime=3x^2+2$，将$x=1$代入$y^\prime$得$y^\prime|_{x=1}=3\times1^2+2=5$。

2.$\intx^2dx=$______。

答案：$\frac{1}{3}x^3+C$（$C$为常数）。

详细解答：根据不定积分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq1$），对于$\intx^2dx$，$n=2$，则$\intx^2dx=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+C=\frac{1}{3}x^3+C$。

判断题

1.函数$y=\sinx$是周期函数，其最小正周期是$2\pi$。（）

答案：√。

详细解答：根据正弦函数的性质，对于函数$y=A\sin(\omegax+\varphi)$，其周期$T=\frac{2\pi}{\omega}$，在$y=\sinx$中，$\omega=1$，所以周期$T=2\pi$，且不存在比$2\pi$更小的正周期，所以该说法正确。

2.若函数$f(x)$在$x=x_0$处可导，则$f(x)$在$x=x_0$处一定连续。（）

答案：√。

详细解答：设函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，即$\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}=f^\prime(x_0)$存在，其中$\Deltay=f(x_0+\Deltax)f(x_0)$。则$\lim\limits_{\Deltax\to0}\Deltay=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}\cdot\Deltax=\lim\limits_{\Deltax\to0}\frac{\Deltay}{\Deltax}\cdot\lim\limits_{\Deltax\to0}\Deltax=f^\prime(x_0)\times0=0$，根据函数连续的定义，$\lim\limits_{\Deltax\to0}\Deltay=0$意味着函数在$x=x_0$处连续，所以该说法正确。

解答题

1.求函数$y=e^{2x}\cosx$的导数。

答案：$y^\prime=e^{2x}(2\cosx\sinx)$。

详细解答：根据乘积的求