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导数专题导数与曲线的切线方程问题

明确学习目标

课标要求

掌握两种切线方程的求解，并能解决有关切线方程的综合问题

重点难点

掌握两种切线方程的求解，并能解决有关切线方程的综合问题

知晓结构体系

1夯实必备知识

一、求曲线“在”与“过”某点的切线

1、求“在型”切线方程的步骤

①求斜率：求出曲线在点处切线的斜率

②列式：用点斜式

③计算：将点斜式变成一般式。

2、求“过型”切线方程的步骤

①设元：设切点为；

②求斜率：k=；

③列式：用点斜式；

④代点计算：代入已知点坐标．

二、切线条数问题

求曲线的切线条数一般是设出切点，由已知条件整理出关于的方程，把切线问条数问题转化为关于的方程的实根个数问题。

三、公切线问题

研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使用这两个方程表示同一条直线，但要注意以下两个方面：

（1）两个曲线有公切线，且切点是同一点；

（2）两个曲线有公切线，但是切点不是同一点。

四、已知切线求参数问题

此类问题常见的考查形式有两种，一是判断符合条件的切线是否存在，二是根据切线满足条件求参数的值或范围。常用的求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数，再根据方程的根的情况或函数性质去求解。

2提升学科能力

题点一“在型”切线方程的求解

【典例分析1】

已知函数.

(1)若，求曲线在点处的切线；

(2)讨论的单调性；

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】

（1）求导，利用导数的几何意义得到切线方程；

（2）求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，进行求解函数的单调性.

【详解】（1）

当时，函数，则，切点坐标为，

，则曲线在点处的切线斜率为，

所求切线方程为，即.

（2）

，函数定义域为R，

，

①，解得或，解得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

②，解得或，解得，

所以在和上单调递增，在上单调递减，

③，恒成立，在上单调递增.

综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在和上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递增.

【变式训练1】

1．函数的图象在点处的切线方程是（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用导数的几何意义求切线方程.

【详解】

因为，所以，所以切点为，又，

由导数的几何意义知函数的图象在点处的切线斜率，

故得函数的图象在点处的切线方程是，即为．

故选：B

2．已知函数，则曲线在处切线的方程为．

【答案】

【分析】

利用导数的定义及其几何意义计算即可．

【详解】

因为

，

又因为，所以所求切线方程为，

即．

故答案为：.

3．曲线在处的切线方程为.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义求出斜率，再由直线的点斜式方程可得结果.

【详解】因为，所以.

又，

故曲线在处的切线方程为，

即

故答案为：

4．曲线在点处的切线方程为．

【答案】

【分析】求出函数的导数将代入求出，确定解析式后，将点代入解析式，求得的值，然后根据切线方程公式解出结果.

【详解】因为，所以，

所以，解得，所以，

将点代入得，.

所以切点为

因为，所以，所以切线斜率为

所以曲线在点

处的切线方程为，

整理得.

故答案为：

5．已知函数

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求函数的单调区间．

【答案】(1)

(2)单调增区间为，，单调递减区间为.

【分析】

（1）利用导数几何意义，求出曲线在点处的切线方程即可；

（2）利用导数求出函数的单调区间即可.

【详解】（1）

，则，

则切线的斜率，又，

所以曲线在点处的切线方程为．

（2）

，

则，

由，可得或；由，可得，

所以函数的单调增区间为，，单调递减区间为．

题点二“过型”切线方程的求解

【典例分析2】

已知曲线，

(1)求曲线在点处的切线方程；

(2)求过点且与曲线相切的直线方程.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）求得，得到，结合直线的点斜式方程，即可求解；

（2）设切点为，求得切线方程为，结合点在直线上，列出方程求得，进而求得过点的切线方程.

【详解】（1）解：由函数，可得，可得，

即曲线在点处的切线斜率为，

所以曲线在点处的切线方程为，即.

（2）解：因为点不在曲线上，

设切点为，所以，

所以切线方程为，

又因为在直线上，所以，

即，解得或.

当切点为时，切线方程为；

当切点为时，切线的斜率为，此时切线方程为，

综上所述，过点且与曲线相切的直线方程为：或.

【变式训练2】

1．过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设切点坐标为，求得切线方程为，把原点代入方程，得到，解得，即可求得切线方程.

【详解】由函数，可得，

设切点坐标为，可得切线方程为，

把原点代入方程，可得，即，

解得，所以切线方程为