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期中复习专题02勾股定理

知晓结构体系

1夯实必备知识

1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为，b，斜边长为c，那么。

应用：

（1）已知直角三角形的两边求第三边（在中，，则，，）

（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边。

勾股定理逆定理：如果三角形三边长,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形。

应用：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。

（定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）

3、勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等

③勾股数扩大相同的的倍数依然是一组新的勾股数。如ka,kb,kc

4.直角三角形的性质

（1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

（2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°

BC=AB

∠C=90°

（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

∠ACB=90°

CD=AB=BD=AD

D为AB的中点

5、摄影定理

在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项

∠ACB=90°

CD⊥AB

6、常用关系式

由三角形面积公式可得：ABCD=ACBC

7、直角三角形的判定

1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。

2提升学科能力

一、题点一勾股定理的计算

1．若一直角三角形的两边的长为3和4，则第三边的长为（????）

A．5 B．5或 C．5或4 D．7

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理，分类讨论是解答本题的关键．分类讨论：①若3和4为直角边，②若3为直角边，4为斜边，利用勾股定理即可求解．

【详解】解：①若3和4为直角边，则第三边长为：；

②若3为直角边，4为斜边，则第三边长为：；

故选B．

2．如图，正方形OABC的边OC落在数轴上，点C表示的数为1，点P表示的数为﹣1，以P点为圆心，PB长为半径作圆弧与数轴交于点D，则点D表示的数为（）

A． B． C． D．﹣1

【答案】D

【分析】直接利用勾股定理得出PC的长，进而得出答案．

【详解】由题意可得：PC＝2，BC＝1，则在Rt△PCB中，

PC2+BC2＝PB2，

故PB＝，

则PD＝，

故点D表示的数为：﹣1．

故选D．

【点睛】此题主要考查了勾股定理，正确得出PC的长是解题关键．

3．如图，以原点为圆心，长方形的对角线为半径作弧，弧与数轴的交点为点，则点表示的实数是（????）

??

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据勾股定理计算长方形的对角线，再由点的位置，即可确定表示的数．

【详解】∵，

∴点表示的实数是－，

故选：．

【点睛】此题考查了实数与数轴的关系和勾股定理得应用，掌握勾股定理是解题的关键．

4．如图，，过点P作，得；再过点P1作，且，得；又过点P2作，且，得，依此法继续做下去，得（）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理的应用，在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．根据勾股定理分别求出每个直角三角形斜边长，根据结果得出规律，即可求解．

【详解】解：

故选：C．

5．如图，在中，是上一点，已知，，，，则的长为（????）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据勾股定理的逆定理得出∠ADC＝90°，再根据勾股定理求出BD即可．

【详解】解：∵AC＝13，AD＝12，CD＝5，

∴AD2＋CD2＝AC2，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADB＝90°，

在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD＝，

∴BC＝BD＋CD＝9＋5＝14，

故选：A．

【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能根据勾股定理的逆定理求出∠ADC＝90°是解此题的关键．

二