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2025年高考第三次模拟考试

数学（广东卷02）参考答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1

2

3

4

5

6

7

8

A

C

C

C

B

B

A

D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9

10

11

BCD

ACD

ABD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12． 13． 10 14．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．【解析】（1）∵，，

∴， 2分

在中由余弦定理可得，

∴，解得（舍去）或，

∴. 5分

（2）设，为等边三角形，设

在中由余弦定理可得，

在中由余弦定理可得， 7分

由∵，∴，

即，

则，即①，

又∵正中，∴，

在中，

即，∴，②

由①②可知，，， 11

如图，取中点，连接，由对称性可知圆心在中线上，连接，

∴，又∵，

∴半径，

∴圆的面积为：. 13分

16．【解析】（1）平面平面，

又，平面，平面，

又因为平面，，

是二面角的平面角，． 2分

又，

.

连接．则，

. 4分

是平行四边形，，又，

是正三角形，，

，

同理可证平面，平面，

，

. 6分

（2）设中点为，连接，易得，

又因为平面AEFD，面AEFD，则， 7分

则两两互相垂直，则以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，，， 9分

设平面的法向量为，

由，得，令，则，则， 12分

设直线AB与平面的夹角为，则

，

所以直线与平面的夹角正弦值为. 15分

17．【解析】（1）依题意，随机变量的可能取值为，

则，， 2分

所以的分布列如下表所示：

2

3

4

数学期望为. 5分

（2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，

于是， 7分

令数列的前项和为，

则，

于是，

两式相减得

，因此， 9分

所以. 10分

（3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，

记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件，

则，，，即，

由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列，

，因此， 13分

随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于，

所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 15分

18．【解析】（1）

设，倾斜角为，由对称性知有两条，且关于对称，

不妨设，那么，

则，则， 2分

由于，则，

则，

， 4分

则由对称性，另一条直线：，

所以直线的方程为或． 6分

（2）设点，

因为，同理：，

所以，化简可得：，

同理可得：，，

， 8分

又因为，直线和直线交于点，

所以，且，即，

，且，化简得：，于是，

则，解得，所以点，

由于，则，所以，则轴平分， 10分

设的内切圆圆心，则到的距离，

点到的距离，

所以， 12分

化简可得：，

由于，当且仅当取等号（舍），

则，

则．

或由化简得到：， 15分

令，当且仅当取等号（舍），

则，设，

，

则在单调递减，． 17分

19．【解析】（1）设正项等比数列的公比为，

则，即，

所以任意一个正项等比数列为下凸数列. 2分

（2）显然，

，

所以正项数列为下凸数列.???? 5分

下面证明：正项数列不是等比数列.

若是等比数列，则，

所以， 7分

因为数列，分别为两个正项等比数列，

所以，，

所以，

所以，

因为，所以，

所以，所以，与矛盾，

所以数列不是等比数列. 9分

（3）假设存在一个常数，使得，但，

因为，所以，

将中的换成得，.

进一步得，. 11分

又，由不等式的可加性得，，

同理可得，，

所以，

所以数列从项到项单调递减，从项开始向后单调递增，

所以，

因为该规律是固定的，且，

所以当足够大时，必有，与题设矛盾，

所以不可能从某一项开始单调递增，所以， 13分

令，，

由得，，

所以

15分

所以，

即，

进一步得，，

所以，

，

，

，

相加得，

所以. 17分