2025年高考第二次模拟考试数学（北京卷02）数学（试卷+答案解析）.docx

PAGE2/NUMPAGES8

2025年高考数学第二次模拟考试

高三数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集，集合，则（????）

A． B． C． D．

2．若，则（????）

A． B． C． D．

3．下列函数既是幂函数又是奇函数的是（）

A． B． C． D．

4．已知直线被圆截得的弦长为2，则（???）

A． B． C．3 D．4

5．双曲线两个焦点，焦距为8，M为曲线上一点，则（????）

A．1 B．1或9 C．9 D．3

6．记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（????）

A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（????）

A． B． C．1 D．

8．已知向量为单位向量，且满足，若，则（???）

A． B． C． D．

9．我国的5G通信技术领先世界，5G技术的数学原理之一是著名的香农（Shannon）公式，香农提出并严格证明了“在被高斯白噪声干扰的信道中，计算最大信息传送速率的公式，其中是信道带宽（赫兹），是信道内所传信号的平均功率（瓦），是信道内部的高斯噪声功率（瓦），其中叫做信噪比．根据此公式，在不改变的前提下，将信噪比从99提升至，使得大约增加了60%，则的值大约为（????）（参考数据：）

A．1559 B．3943 C．1579 D．2512

10．数学中有许多形状优美，寓意美好的曲线，曲线就是其中之一（如图）．曲线与轴交于、两点，点为曲线上一动点，给出下列四个结论，其中错误的结论是（???）

A．图形关于轴对称 B．点的纵坐标的最大值为

C． D．

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．

11．在的展开式中，的系数为用数字填写答案

12．在中，角、、的对边分别为、、，若、、，则.

13．已知点在抛物线上，则抛物线的焦点坐标为；点到抛物线的准线的距离为.

14．已知函数，若，则的最小值为；若恰有2个零点，则的取值范围为.

15．设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列，下列说法正确的是（????）

①．若数列满足：，则为和谐数列

②．对任意的正整数均有，则为和谐数列

③．若等差数列是和谐数列，则一定存在最大值

④．若的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列

解答题：本题共5小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

（满分13分）如图，四棱锥的底面为正方形，侧面底面．设平面与平面的交线为．

(1)证明：平面；

(2)已知，，为上的点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．

17．（满分14分）已知函数

(1)求的单调递增区间；

(2)若的图像是由的图像向右平移单位长度得到，则当，求满足实数x的集合.

18．（满分13分）随着教育部的“双减政策”落地，为了丰富高中基础年级学生的课余生活，2025年元旦期间，某校师生举行一场惊心动魄的足球比赛；由教师代表队、高一学生代表队和高二学生代表队组成、得分规则为：球队胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由教师代表队与高一学生代表队和高二学生代表队的两场比赛．根据前期比赛成绩，教师代表队与高一学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为；由教师代表队与高二学生代表队比赛：教师代表队胜的概率为，平的概率为，负的概率为，且两场比赛结果相互独立．

(1)求教师代表队与高二学生代表队比赛获得积分超过教师代表队与高一学生代表队比赛获得积分的概率；

(2)用表示教师代表队两场比赛获得积分之和，求的分布列与期望．

19．（满分15分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点与轴不垂直的直线交椭圆于，两点．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）在线段上是否存在点,使得以为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

20．（满分15分）已知函数.

(1)当时，讨论的单调性；

(2