《高等代数2》课程大纲.docx

《高等代数2》课程大纲

课程编码：1908343105课程名称：高等代数2

英文名称：HigherAlgebra2

课程类型：□通识教育课程?学科基础教育课程?专业教育课程课程性质：?必修□方向□选修总学时数：96学时（授课96学时）总学分数：6先修课程：高等代数1适用专业：数学与应用数学开课学期：第2学期开课学院/部(室/所/其他）：数学与统计学院一、课程地位与作用

本课程是数学与应用数学专业学生开设的一门专业教育必修课程，不仅是应用学科的重要工具课，

而且在近代数学理论中也是一门很重要的理论基础课。通过本课程的教学，可使学生掌握专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，并且对初等代数内容有比较深入的理解；同时可以培养学生独立思考、科学抽象思维、正确逻辑推理和迅速准确运算等多方面的能力，以及树立辩证唯物论观点。它是初等代数的继续与提高，在此基础上可继续学习后续课程：近世代数、多重线性代数、微电脑方面及运筹方面等知识，而随着当今电脑科技的发展，高等代数的作用会更加明显。

课程目标

通过本课程的理论教学，实现下列目标：

培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力；

掌握线性空间、线性变换、欧氏空间的基本概念、基本理论；

熟练掌握二次型的化简；特征值和特征向量、矩阵的若当标准形的求解以及运用施密特正交化方法由一组基求出标准正交基的基本运算过程；

培养学生分析问题和解决问题的思维方式和能力。

课程目标支撑毕业要求

课程目标

毕业要求1

毕业要求2

毕业要求3

毕业要求4

毕业要求5

毕业要求6

毕业要求7

毕业要求8

目标1

√

目标2

√

目标3

√

目标4

√

课程教学内容与基本要求

第五章二次型（支撑课程目标1、3、4）参考课时：12学时

教学目标：掌握二次型及其矩阵表示以及二次型及其矩阵的秩、非退化的线性替换、对称矩阵的合同等基本概念；掌握化二次型为标准形的配方法与合同变换法、讨论非退化的线性替换的矩阵表示，理解复、实二次型的规范形、实二次型的惯性指数、符号差；讨论实二次型及其矩阵正定、以及矩阵主子式与顺序主子式等基本概念，掌握实二次型及其矩阵的正定（负定、半正定、半负定、不定）的判定与证明。

教学内容：二次型及其矩阵表示及其秩；非退化的线性替换；对称矩阵的合同；复、实二次型的规范形；实二次型的惯性指数；符号差；正定二次型。

学习重点：化二次型为标准形、求相应的非退化线性替换、二次型及其矩阵的正定的判定。

学习难点：化二次型为标准形的配方法与合同变换法。

第六章线性空间（支撑课程目标1、2、4）参考课时：22学时

教学目标：理解线性空间的定义，正确表述线性空间中向量的线性相关、线性无关、线性表示、极大无关组、秩的定义，熟练掌握它们之间的关系；掌握线性空间的基与维数的求解，理解线性空间坐标及过渡矩阵的定义，掌握基变换和坐标变换公式；掌握子空间、生成子空间的定义，和与直和的概念及性质；理解线性空间同构的定义，可以在数域P上同构的向量空间之间建立同构映射。

教学内容：集合与映射；线性空间的定义与简单性质；维数,基与坐标；基变换与坐标变换；线性子空间；子空间的交与和；子空间的直和；线性空间的同构。学习重点：线性空间的定义、基、维数、坐标、子空间。

学习难点：子空间的和与直和。

第七章线性变换（支撑课程目标1、2、3、4）参考课时：26学时

教学目标：掌握线性变换的定义、性质及运算（和、差、乘积、数量乘法、逆变换、幂与多项式等基本运算）；理解线性变换矩阵的定义，熟练求解一个线性变换在某组基下的矩阵，掌握矩阵的相似概念；熟练掌握线性变换及矩阵的特征值和特征向量的概念与计算，了解特征多项式、特征子空间等基本概念；掌握线性变换的值域与核、秩与零度，线性变换的不变子空间等基本概念及其性质；熟练掌握矩阵对角化条件以及化矩阵为对角矩阵的方法。

教学内容：线性变换的定义与运算；线性变换的矩阵；特征值与特征向量；对角矩阵；线性变换的值域与核；不变子空间；若尔当标准形介绍；最小多项式。

学习重点：掌握线性变换与它的矩阵表示、线性变换的特征值与特征向量、线性变换的值域与核、秩与零度、线性变换的不变子空间。

学习难点：矩阵的可对角化的条件。

第八章λ-矩阵（支撑课程目标1、4）参考课时：14学时

教学目标：理解λ-矩阵的定义及其运算；掌握在初等变换下λ-矩阵的标准形；掌握矩阵的不变因子、各级行列式因子及初等因子这三个重要概念及它们的性质、相互转换的方法；掌握数字矩阵相似的充要条件；了解矩阵的若当标准形及有理标准形的求法。

教学内容：λ-矩阵；λ-矩阵在初等变换下的标准形；不变因子；矩阵相似的条件；初等因子；Jordan标准型的理论推导；矩阵的有理标准型。

学习重点：掌握λ-矩阵的不变因子、行列式因子、初等因子及其在初等变换下的标准形