《微分几何》课程大纲.docx

《微分几何》课程大纲

课程编码：1908343404课程名称：微分几何

英文名称：DifferentialGeometry

课程类型：□通识教育课程□学科基础教育课程?专业教育课程课程性质：?必修□方向?选修总学时数：48学时（授课48学时）总学分数：3先修课程：解析几何；高等代数；数学分析；常微分方程适用专业：数学与应用数学开课学期：第4学期

开课学院/部(室/所/其他）：数学与统计学院一、课程地位与作用

本课程是数学与应用数学专业学生开设的专业教育选修课程，是以数学分析为主要工具研究空间形式的一门学科，是几何学的一个分支，也是入学后第六学期开设的必修课。本课程主要讨论光滑曲线和曲面的性质。它包括两个方面，其中一方面是随着微积分的出现而开始的，这部分可以称为经典微分几何。粗略地说，经典微分几何是研究曲线和曲面的局部性质。另一方面是称为整体微分几何的那部分。由于高等院校这门课程的课时限制，仅从微分几何最基础的三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部理论进行教学。本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。

通过本课程的学习，使学生掌握这门课程的基本概念、基本理论和方法，培养学生应用微积分和线性代数处理几何问题的能力，培养几何直观和图形想象能力，从具体到抽象的能力，为进一步学习现代微分几何打下扎实的基础。

课程目标

通过本课程的理论教学实现下列目标：

学习向量函数、曲线论、曲面论等基本内容，并能解决一些实际问题；

理解和领会向量函数、曲线论和曲面论为工具的实质，把握微分几何的体系结构，从知识的扩充层面上，发展自身的创新思维；

掌握核心内曲线论、曲面论及其有关的研究，对课程整体作深入的了解和把握；

具备一般的运用微分几何基本知识和理论解决综合问题、相关实践问题的能力；通过本课程的学习，使学生掌握这门课程的基本概念、基本理论和方法，培养学生应用微积分和线性代数处理几何问题的能力，培养几何直观和图形想象能力，从具体到抽象的能力，为进一步学习现代微分几何打下扎实的基础。

课程目标支撑毕业要求(数学专业)

课程目标

毕业要求1

毕业要求2

毕业要求3

毕业要求4

毕业要求5

毕业要求6

毕业要求7

毕业要求8

目标1

√

目标2

√

目标3

√

目标4

√

课程教学内容与基本要求

第一章曲线论（支撑课程目标1、2、3、4）参考课时：20学时

教学目标：正确理解向量函数及其极限、连续性、微商、泰勒公式、积分的概念，熟练掌握向量函数的运算；理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧长参数表示曲线；理解空间曲线的密切平面、空间曲线的基本三棱形、曲率与挠率的概念；熟练掌握三线三面、空间曲线曲率与挠率的运算及几何特征；掌握Frenet公式，能运用Frenet公式去解决实际问题；掌握曲线论的基本定理，能求已知曲率与扰率的一些简单的曲线；掌握一般螺线的定义与性质。

教学内容：向量函数的极限；向量函数的连续性；向量函数的微商；向量函数的泰勒（TayLor）公式；向量函数的积分；曲线的概念；光滑曲线、曲线的正常点；曲线的切线和法面；曲线的弧长、自然参数；空间曲线的密切平面；空间曲线的基本三棱形；空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式；空间曲线在一点邻近的结构；空间曲线论的基本定理；一般螺线。

学习重点：向量函数的微积分学，基本运算及其性质；曲线基本概念及其几何意义，切线，法面、

弧长的计算；空间曲线的基本三棱形，密切面、曲率、挠率的计算，Frent公式的应用，曲线的局部结构和基本定理的理解；一般螺线。

学习难点：向量函数的微积分学，基本运算及其性质；基本概念及其几何意义，切线，法面、弧长的计算；空间曲线的基本三棱形，密切面、曲率、挠率的计算，Frent公式的应用，曲线的局部结构和基本定理的理解。

第二章曲面论（支撑课程目标1、2、3、4）参考课时：28学时

教学目标：理解和熟记简单曲面、光滑曲面、曲面上的曲线网、曲面的切平面和法线等基本概念，

理解和熟记有关公式，并能使用它们熟练地进行运算；理解和掌握曲面的第一基本形式，计算曲面上曲线的弧长，曲面域的面积和曲面间的等距及保角变换等有关问题；理解和掌握曲面的第二基本形式，由第二基本形式讨论曲面上曲线的曲率，曲面的法曲率，曲面上的方向，曲面上的各种曲线和各种曲率之间的关系；理解和掌握直纹面、特别是可展曲面的概念、理论、方法和应用背景；初步认知张量符号,理解曲面论的基本定理；理解和掌握曲面上曲线的测地曲率、测地线及其短程性；了解本章唯一的整体理论——高斯崩尼（Gauss-Bonnet）公式；了解常高斯曲率曲面、伪球面及罗氏几何的概念和有关内容。

教学内容：简单曲面及其参数表示；光滑曲面、曲面的切平面和法线；曲面上的曲线族和曲线网；

曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长