2025北京中关村中学高二（下）开学考数学（教师版）.docx

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2025北京中关村中学高二（下）开学考

数学

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知直线过点，则直线的倾斜角为（）

A. B. C. D.

2.圆心为且过原点的圆的方程是（）

A. B.

C. D.

3.焦点为(0，2)的抛物线标准方程是（）

A. B. C. D.

4.长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（）

A. B. C. D.

5.已知是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知椭圆上一点和焦点.轴，若双曲线的一条渐近线经过点，那么双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

7.已知圆，直线，若圆上至少有3个点到直线的距离为2，则可以是（）

A.3 B. C.2 D.

8.已知数列的前项和为，且，则数列的前2025项的和为（）

A. B. C. D.

9.记等差数列的前项和为，若，则（）

A. B. C. D.

10.已知数列的通项公式，则根据下列说法选出正确答案是（）

①若，则数列的前项和；

②若，数列的前项和为，则是递增数列；

③若数列是递增数列，则.

A.①② B.②③ C.①③ D.①②③

二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分.

11.双曲线的焦点到顶点的最小距离是______.

12.经过点，且与直线平行的直线方程是______.

13.抛物线上一点到焦点的距离等于3，则点的坐标为______.

14.已知等差数列的前项和为，若，，则______；的最小值为______.

15.生活中一些常见的漂亮图案不仅具有艺术美，其中也有数学的对称、和谐、简洁美曲线.下面是关于曲线的四个结论：

①曲线关于原点中心对称；

②曲线上点的横坐标取值范围是

③曲线上任一点到坐标原点的最小距离为；

④若直线与曲线无交点，则实数的取值范围是

其中所有正确结论的序号是______.

三、解答题：本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16.如图，在正方体中，点分别是棱的中点．求证：

（1）平面；

（2）平面．

17.已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，、分别为、的中点，过的平面交于点，平面平面；

（1）证明：为的中点；

（2）取的中点，连接，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：

（i）到平面的距离；

（ii）二面角的余弦值.

条件①：

条件②：平面.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

18.已知斜率为的直线过点，且与椭圆相交于不同的两点，，

（1）若，中点的纵坐标为，求直线的方程；

（2）若弦长，求的值.

19.已知椭圆的短轴的两个端点分别为，，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程及焦点的坐标；

（2）若直线与椭圆交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：.

参考答案

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】B

【分析】根据两点求斜率，再根据斜率与倾斜角关系计算即可.

【详解】直线过点，则直线的斜率为，

设直线的倾斜角为，所以，

所以直线的倾斜角为.

故选：B.

2.【答案】B

【分析】

根据条件求出半径即可.

【详解】因为圆心为且过原点，所以

所以圆的方程是

故选：B

3.【答案】A

【分析】

由焦点坐标可知抛物线的开口向上，且，从而可求得抛物线的方程

【详解】解：因为抛物线的焦点为(0，2)，

所以设抛物线方程为，且，

解得，所以抛物线的方程为，

故选：A

4.【答案】C

【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得.

【详解】

如图所示，因，则即异面直线与所成角.

连接，在中，，

则，即异面直线与所成角为.

故选：C.

5.【答案】A

【分析】由面面垂直的判定定理及性质定理即可判断

【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若，则成立，满足充分性；

反之，若，则与的位置关系不确定，即不满足必要性，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：A.

6.【答案】C

【分析】根据题意求出A点坐标后，再代入双曲线渐近线方程可得，再代入可得双曲线的离心率.

【详解】根据椭圆方程可知，焦点坐标为，不妨设焦点F为右焦点，

因为轴，A在椭圆上，假设A点在第一象限，所以A点坐标为.

由题可知，双曲线的渐近线方程为，

又因为双曲线的一条渐