2025版新教材高中数学第五章三角函数7三角函数的应用学案新人教A版必修第一册.docxVIP

PAGE

PAGE9

三角函数的应用

课标解读

课标要求

素养要求

1.理解三角函数的性质.

2.驾驭三角函数的实际应用.

1.直观想象——会用三角函数图象的性质解决实际问题.2.数学运算——会用三角恒等变换解决相关问题.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

要点一简谐运动

在物理学中,把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的直角坐标系下,简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中

要点二描述简谐运动的物理量

A就是这个简谐运动的①振幅,它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；

这个简谐运动的周期是T=2?πω,它是做简谐运动的物体往复运动一次所须要

这个简谐运动的顿率由公式f=1T=

ωx+φ称为④相位；x=0时的相位φ称为⑤初相

自主思索

1.y=2?sin

答案：提示T=2?

2.y=2?sin

答案：提示相位是π4x+π

互动探究·关键实力

探究点一三角函数模型的实际应用

精讲精练

例已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间t（时）的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:

t（时）

0

3

6

9

12

15

18

21

24

y（米）

1.5

1.0

0.5

1.0

1.5

1.0

0.5

0.99

1.5

经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acos

（1）依据以上数据,求函数y=f(t)的解析式及其最小正周期、振幅；

（2）依据规定,当海浪高度大于1米时该海滨浴场才对冲浪爱好者开放,请依据（1）中的结论,推断一天内从8:00到20:00之间,有多少时间可对冲浪爱好者开放.

答案：（1）由题表中的数据可知,T=12,所以ω=2?

因为t=0时,y=1.5,所以A+B=1.5,又t=3时,y=1.0,所以B=1.0,所以A=1

所以函数的解析式为y=f(t)=1

（2）因为当y＞1时,该海滨浴场才对冲浪爱好者开放,

所以y=12cosπ6t+1＞1,即cosπ6?t＞0,所以2k

所以在规定时间内只有6个小时对冲浪爱好者开放.

解题感悟

三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面：

一是已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是精确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；二是把实际问题转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关学问解决问题,其关键是建模

迁移应用

1.某试验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的改变近似满意函数关系：f(t)=10-3

（1）求试验室这一天的最大温差；

（2）若要求试验室温度不高于11?℃,则在哪段时间内试验室须要

答案：（1）因为f(t)=10-2(3

0≤t＜24,所以π3

所以-1≤sin

当t=2时,sin(

当t=14时,sin(

所以f(t)在[0,24)上的最大值为12,最小值为8.

故试验室这一天内的最高温度为12?℃,最低温度为8?℃,最大温差为

（2）依题意,当f(t)＞11时试验室须要降温.

由（1）得f(t)=10-2?sin

故有10-2?sin

即sin(

所以7?π6＜π12

故在10时至18时内试验室须要降温.

探究点二三角函数在物理中的应用

精讲精练

例单摆从某点起先来回摇摆,已知离开平衡位置的位移s（单位:cm）和时间t（单位:s）的函数关系式为s=6?sin

（1）作出函数的图象；

（2）当单摆起先摇摆(t=0)时,离开平衡位置的位移是多少?

（3）当单摆摇摆到最右边时,离开平衡位置的位移是多少?

（4）单摆来回摇摆一次须要多长时间?

答案：（1）函数的图象如图所示.

（2）当t=0时,s=6?sin

所以此时离开平衡位置的位移是3?cm

（3）当单摆摇摆到最右边时,s有最大值6,即此时离开平衡位置的位移是6?cm

（4）因为T=2?

所以单摆来回摇摆一次所需的时间为1?s

解题感悟

三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查的最多,尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.

迁移应用

1.沟通电的电压E（单位:V）与时间t（单位:s）的关系可用E=2203

（1）起先(t=0)时的电压；

（2）电压值重复出现一次的时间间隔；

（3）电压的最大值和第一次取得最大值的时间.

答案：（1）当t=0时,E=1103

即起先时的电压为1103

（2）T=2?π100?

（3）电压的最大值为2203

当100?πt+π

评价检测·素养