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考研管综试题和解析

一、选择题（每题3分，共15分）

1.已知函数$f(x)=\frac{x^24}{x2}$，则当$x$趋近于2时，$f(x)$的极限是（）

A.2B.4C.不存在D.0

答案：B

解析：首先对函数$f(x)=\frac{x^24}{x2}$进行化简，根据平方差公式$a^2b^2=(a+b)(ab)$，则$x^24=(x+2)(x2)$，所以$f(x)=\frac{(x+2)(x2)}{x2}=x+2$（$x\neq2$）。当$x$趋近于2时，$\lim\limits_{x\to2}f(x)=\lim\limits_{x\to2}(x+2)=2+2=4$。

2.若等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，$a_2=3$，$a_3+a_5=14$，则$S_7$等于（）

A.49B.56C.63D.70

答案：A

解析：设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$。已知$a_2=3$，即$a_1+d=3$；$a_3+a_5=14$，根据等差数列通项公式$a_n=a_1+(n1)d$，可得$a_1+2d+a_1+4d=14$，即$2a_1+6d=14$，化简为$a_1+3d=7$。联立方程组$\begin{cases}a_1+d=3\\a_1+3d=7\end{cases}$，用第二个方程减去第一个方程消去$a_1$得：$2d=4$，解得$d=2$，将$d=2$代入$a_1+d=3$，得$a_1=1$。根据等差数列前$n$项和公式$S_n=na_1+\frac{n(n1)}{2}d$，则$S_7=7\times1+\frac{7\times(71)}{2}\times2=7+42=49$。

3.若事件$A$与$B$相互独立，且$P(A)=0.4$，$P(B)=0.3$，则$P(A\cupB)$等于（）

A.0.42B.0.58C.0.7D.0.12

答案：B

解析：因为事件$A$与$B$相互独立，所以$P(AB)=P(A)P(B)=0.4\times0.3=0.12$。根据概率的加法公式$P(A\cupB)=P(A)+P(B)P(AB)$，将$P(A)=0.4$，$P(B)=0.3$，$P(AB)=0.12$代入可得$P(A\cupB)=0.4+0.30.12=0.58$。

4.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(x,1)$，若$\vec{a}+2\vec{b}$与$2\vec{a}\vec{b}$平行，则$x$的值为（）

A.1B.$\frac{1}{2}$C.2D.1

答案：B

解析：先求出$\vec{a}+2\vec{b}$与$2\vec{a}\vec{b}$的坐标。$\vec{a}+2\vec{b}=(1,2)+2(x,1)=(1+2x,2+2)=(1+2x,4)$，$2\vec{a}\vec{b}=2(1,2)(x,1)=(2x,41)=(2x,3)$。因为两向量平行，则它们对应坐标成比例，即$3(1+2x)=4(2x)$，展开得$3+6x=84x$，移项得$6x+4x=83$，$10x=5$，解得$x=\frac{1}{2}$。

5.若不等式$x^22ax+a0$对任意$x\inR$恒成立，则实数$a$的取值范围是（）

A.$(0,1)$B.$(\infty,0)\cup(1,+\infty)$C.$[0,1]$D.$(\infty,0]\cup[1,+\infty)$

答案：A

解析：对于一元二次函数$y=x^22ax+a$，要使不等式$x^22ax+a0$对任意$x\inR$恒成立，即该二次函数的图像恒在$x$轴上方，所以其判别式$\Delta=b^24ac0$（其中$a=1$，$b=2a$，$c=a$）。则$\Delta=(2a)^24a0$，即$4a^24a0$，提取公因式$4a$得$4a(a1)0$，则有$\begin{cases}4a0\\a10\end{cases}$或$\begin{cases}4a0\\a10\end{cases}$。解$\begin{cases}4a0\\a10\end{cases}$得$\begin{cases}a0\\a1\e