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2025年高考第三次模拟考试

高三数学（广东卷）01·参考答案

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1

2

3

4

5

6

7

8

C

A

D

D

C

D

B

B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9

10

11

ABD

ABD

BCD

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12． 13． 14．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。

15．（13分）

【解析】（1）因为，

可设，则，

所以；（5分）

（2）由（1）知，，，所以，

设外接圆的半径为，

则由正弦定理，所以,

所以外接圆的半径为；（9分）

（3）因为，由（1）知，，则，

所以.（13分）

16．（15分）

【解析】（1）依题意，，即，由点在上，得，

解得，，即，，半焦距，因此双曲线的方程为，（5分）

点，，在中，设点到直线的距离为，

由，解得，

所以点到直线的距离为.（7分）

（2）记直线，的倾斜角分别为和，由（1）得直线的斜率，

而，则直线的斜率，??

所以直线的方程为.（15分）

17．（15分）

【解析】（1）因为平面平面，平面平面，

在平面内过作交于，则平面.

同理，因为平面平面，平面平面，

在平面内过作交于，则平面.

又因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，而平面平面，

所以重合，所以平面.（3分）

因为平面，所以，

因为，点为的中点，所以.

因为，平面，所以平面，

因为平面，所以平面平面．（5分）

（2）如图，因为平面，取底面的外心为，，则，

过点做的平行线，在此线上取点，使得，则为三棱锥外接球的球心，

分析可得外接球的半径，

所以三棱锥外接球的体积为．（8分）

（3）如图，以点B为坐标原点，直线AB，BD分别为z轴，y轴，过点B与平面ABD垂直的直线为x轴，建立空间直角坐标系，

则，（9分）

，

设平面的法向量为，

则，即，

取，则，所以，（11分）

设平面的法向量为，

则，即，

取，则，所以，（13分）

设平面与平面的夹角为，

则，

所以平面与平面的夹角的余弦值为．（15分）

18．（17分）

【解析】（1）由题可知，令，得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以当时，取得极大值，没有极小值.（4分）

（2）设，根据题意，当时，恒成立.

又，

若，则，令，得，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，所以，不符合题意，（6分）

若，令，得或.

若，则恒成立，所以在上单调递增，

又当时，，不符合题意，

若，则，当时，，所以在上单调递增，（8分）

当时，，不符合题意，???????????????????????????????

若，则，当时，，

当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，

又因为，所以在上成立，

要使在上也成立，只需，即，得，

故的取值范围是.（10分）

（3）由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，且当时，.

又由（2）知当时，，故可作出，在上的大致图象如下，

除了点，的图象都在的图象的下方，（13分）

当时，直线与曲线有两个交点，横坐标分别为，，

直线与曲线有两个交点，横坐标分别为和，????????

由图可知.（17分）

19．（17分）

【解析】（1）由及知符合条件的集合的个数即为集合的不含元素1且必须含有2的非空子集的个数，

等于；（4分）

（2）依题意

又，故

解之得；（9分）

（3）①当，且，时，集合中一定有5，8，一定没有1，2，3，4，9，10，可有可无的是6，7，

故符合条件的集合的个数为，

所以（11分）

②易知

又的可能取值为，，…，，，，…，，，，…，，…，，（12分）

故

又随机变量是随机变量的等差中项，故（15分）

所以

依题意，故，则，

所以小帅的该项健康指标不正常.（17分）