导数与数列综合解析-2025年高考数学二轮复习压轴题突破.pdfVIP

2025年高考数学二轮复习压轴题突破拿高分(导数篇)

专题05导数与数列综合

题型一：曲线切线与坐标轴交点形成数列

题型二：曲线与直线交点横坐标形成数列

题型三：函数递推数列

导数与数列综合

题型四：新定义数列

题型：数列“累加型不等式证明

题型六：用导数解决数列问题

方法指导

【数列的函数特性】

等差数列和等比数列的通项公式及前〃项和公式中共涉及个量%,q,n,S,知三求二，体现了方程

n

的思想的应用.解答数列与函数的综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特

例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题.

【解题方法点拨】

1.在解决有关数列的具体应用问题时：

(1)要读懂题意，理解实际背景，领悟其数学实质，舍弃与解题无关的非本质性东西；

(2)准确地归纳其中的数量关系，建立数学模型；

(3)根据所建立的数学模型的知识系统，解出数学模型的结果；

(4)最后再回到实际问题中去，从而得到答案.

2.在求数列的相关和时，要注意以下几个方面的问题：

(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程.

(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列

求和.

(3)求一般数列的前〃项和时，无一般方法可循，要注意掌握某些特殊数列的前/7项和的求法，触类旁通.

3.在用观察法归纳数列的通项公式(尤其是在处理客观题目时)时，要注意适当地根据具体问题多计算相

应的数列的前几项，否则会因为所计算的数列的项数过少，而归纳出错误的通项公式，从而得到错误的结论.

典型解析

题型一：曲线切线与坐标轴交点形成数列

[例1](202上海高考)已知函数/(无)=hu,取点回(％)),过其作曲线/(x)=lnx切线交丫轴于点(0,«),

2

取点(%,/应)),过其作曲线/(幼=质作切线交丫轴于(0，%),若%40,则停止操作，以此类推，得到数列

⑴若正整数机2,证明a=\na_-A

mml

⑵若正整数〃z2,试比较与味-2大小;

⑶若正整数上N,是否存在左使得4,%，，4依次成等差数列？若存在，求出左的所有取值，若不存在，试

说明理由.

【答案】⑴证明见解析

(2)-2

⑶存在，k=3

【分析】(1)由题意求导得切线方程，令尸0即可得到递推关系；

(2)由题意作差结合递推关系，构造导数，得出/z(x)的单调性，由此即可比较大小；

()由题意讨论当左=时，结合等差数列性质以及构造函数，利用导数得出单调性以及零点存在定理即可

说明，当心4时，利用零点存在定理得出唯一性，得出矛盾即可推翻，由此即可得解.

【解析】(1)由题意得，r(x)=1,

故点(a,T“，lnq”T)处的切线方程为：Tn—=」一,

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