2024_2025高中数学第二章圆锥曲线与方程2椭圆2椭圆的简单几何性质1作业含解析新人教A版选修2_1.docVIP

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椭圆的简洁几何性质

基础巩固

一、选择题

1．已知椭圆eq\f(x2,10－m)＋eq\f(y2,m－2)＝1的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于()

A．4 B．5

C．7 D．8

[答案]D

[解析]由题意知，c＝2，a2＝m－2，b2＝10－m，

∴m－2－10＋m＝4，∴m＝8.

2．椭圆的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率e为()

A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)

C．eq\f(1,4) D．eq\f(\r(2),2)

[答案]A

[解析]由题意，得a＝2c，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).

3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为4eq\r(5)的椭圆方程是()

A．eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,20)＝1 B．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,25)＝1

C．eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,45)＝1 D．eq\f(x2,80)＋eq\f(y2,85)＝1

[答案]B

[解析]椭圆9x2＋4y2＝36的焦点为(0，eq\r(5))，(0，－eq\r(5))，

∵b＝2eq\r(5)，∴a2＝25，故选B．

4.如图，经过点P1，P2，P3且有相同对称轴的三个椭圆的离心率依次为e1，e2，e3，则()

A．e3e1e2 B．e1e2e3

C．e3e2e1 D．e2e1e3

[答案]A

[解析]椭圆越扁，离心率越大，比较过点P1，P2的椭圆的离心率，得e1e2，比较过点P1，P3的椭圆的离心率，得e3e1，故e3e1e2.

5．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为()

A．eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)

C．2 D．4

[答案]A

[解析]由题意eq\f(y2,\f(1,m))＋x2＝1，且eq\r(\f(1,m))＝2，

∴m＝eq\f(1,4).故选A．

6．已知焦点在y轴上的椭圆eq\f(x2,m)＋y2＝1，其离心率为eq\f(\r(3),2)，则实数m的值是()

A．4 B．eq\f(1,4)

C．4或eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)

[答案]B

[解析]由题意，得a2＝1，b2＝m，

∴c2＝a2－b2＝1－m，

∴离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－m)＝eq\f(\r(3),2)，

∴m＝eq\f(1,4).

二、填空题

7．已知椭圆的中心在原点，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆标准方程为________.

[答案]eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1或eq\f(x2,72)＋eq\f(y2,81)＝1

[解析]∵椭圆长轴长为18，∴a＝9.

又两个焦点将长轴三等分，

∴a－c＝2c，∴c＝3，∴b2＝a2－c2

∵焦点位置不确定，

∴方程为eq\f(x2,81)＋eq\f(y2,72)＝1或eq\f(x2,72)＋eq\f(y2,81)＝1.

8．椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,m)＝1的离心率为eq\f(1,2)，则m＝________.

[答案]3或eq\f(16,3)

[解析]当焦点在x轴上时，e＝eq\f(\r(4－m),2)＝eq\f(1,2)，

∴m＝3.

当焦点在y轴上时，e＝eq\f(\r(m－4),\r(m))＝eq\f(1,2)，∴m＝eq\f(16,3).

9．已知B1、B2为椭圆短轴的两个端点，F1、F2是椭圆的两个焦点，若四边形B1F1B2F

[答案]eq\f(\r(2),2)

[解析]如图，由已知得b＝c＝eq\f(\r(2),2)a，

∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).

三、解答题

10．如图所示，从椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)上一点P作x轴的垂线，恰好通过椭圆的一个焦点F1，此时椭圆与x轴交于点A，与y轴交于点B，所确定的直线AB与OP平行，求离心率e的值．

[解析]设P点的坐标为(x，y)(y0)，

由题意可得x＝－c，代入椭圆的方程可得y＝eq\f(b2,a)，

∴P点的坐标为(－c，eq\f(b2,a))，∴kOP＝－eq\f(b2,ac).

又∵A(a,0)，B(0，b)，∴kAB＝－eq\f(b,a).

∵OP∥AB，∴kAB＝kOP，

即－eq\f(b,a)＝－eq\f(b2,ac)，∴b＝c，

∴a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(c2＋c2)＝eq\r