2024_2025学年高中数学第一章常用逻辑用语2.1充分条件与必要条件学案新人教A版选修1_1.docVIP

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充分条件与必要条件

导思

1.什么是充分条件、必要条件？

2．如何进行充分条件、必要条件的推断？

充分条件与必要条件

命题真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

推出关系

p?q

pq

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

【提示】不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题．

(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？

提示：相同，都是p?q.

(2)如何理解充分条件和必要条件？

提示：①充分条件：说条件是充分的，也就是说条件是足够的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．

②必要条件：必要就是必需，必不行少．“有之未必成立，无之必不成立”．

③“若p，则q”为真命题可理解为p是q的充分条件，q是p的必要条件；

“若p，则q”为假命题可理解为p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)x24是x3＜－8的必要条件．(√)

提示：由x3＜－8?x＜－2?x24.

(2)在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充分条件．(√)

提示：在△ABC中，由AB2＋AC2＝BC2，可得∠A＝90°，即△ABC为直角三角形．

(3)若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充分条件，也是必要条件．(√)

提示：由a2＋b2≠0?a，b不全为0，反之，由a，b不全为0?a2＋b2≠0.

2．(教材二次开发：练习改编)使四边形为菱形的充分条件是()

A.对角线相等 B.对角线相互垂直

C.对角线相互平分 D.对角线相互垂直平分

【解析】选D.因为“对角线相等”“对角线相互垂直”“对角线相互平分”都不能推导出四边形是菱形，只有“对角线相互垂直平分”可推断四边形是菱形，所以对角线相互垂直平分是四边形为菱形的充分条件．

类型一充分条件(逻辑推理)

1．下列命题中，p是q的充分条件的是()

A.p：ab≠0，q：a≠0

B.p：|x|＋|y|≥0，q：x≥0且y≥0

C.p：x21，q：x1

D.p：ab，q：eq\r(a)eq\r(b)

【解析】选A.A：ab≠0??a≠0，故p是q的充分条件；

B：|x|＋|y|≥0?Dx≥0且y≥0，故p不是q的充分条件；

C：x21?x1或x－1Dx1，故p不是q的充分条件；

D：当ab时，若ba0，则不能推出q：eq\r(a)eq\r(b)，故p不是q的充分条件．

2．已知p：2x＋m0，q：x2－4x0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________．

【解析】p：x－eq\f(m,2)，q：x＜0或x4，

由条件知p?q，所以－eq\f(m,2)≥4，

所以m≤－8.

答案：m≤－8

(1)推断p是q的充分条件，就是推断命题“若p，则q”为真命题．

(2)p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就肯定能得出结论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．例如，当x＝2时x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．

【补偿训练】

“a＋b2c”的一个充分条件是()

A.ac或bc B．ac或b＜c

C.ac且b＜c D．ac且bc

【解析】选D.ac且bc?a＋b2c.

类型二必要条件(逻辑推理)

1．(2024·浙江高考改编)已知空间中不过同一点的三条直线m，n，l，则“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的()

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.既不充分也不必要条件 D.无法推断

【解析】选B.已知m，n，l两两相交，可以推出m，n，l在同一个平面，反之，已知m，n，l在一个平面，可以推出m，n，l两两相交，或者m∥n，l与m，n相交等多种状况，故“m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件．

2．下列命题中是真命题的是()

①“x3”是“x4”的必要条件；

②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；

③“函数f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要条件．

A.①②B．①③C．②③D．①②③

【解析】选B.x4?x3，故①是真命题；x＝1?x2＝1，x2＝1Dx＝1，故②是假命题；函数f(x)的定义域关于坐标原点对称D函数f(x)为奇函数；函数f(x)为