2025北京景山学校高三3月月考数学（教师版）.docx

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2025北京景山学校高三3月月考

数学

本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.已知复数z满足＝i，则z的虚部为（）

A.4i B.4 C.1 D.﹣1

3.已知向量若，则（）

A. B.1 C. D.4

4.已知且满足，则下列关系式恒成立的是（）.

A. B.

C. D.

5.已知各项均为正数的等比数列的前项和为，，，则（）

A. B.1 C.2 D.6

6.已知角是的内角，则“”是“”的（）

A.充分条件 B.必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知的半径为1，直线与相切于点，直线与交于两点，为的中点，若，则的最大值为（）

A. B. C.1 D.

8.如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴AC为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径．将圆柱侧面沿母线AB展开，则椭圆曲线在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线．若该段正弦曲线是函数图象的一部分，且其对应的椭圆曲线的离心率为，则的值为（）

A. B.1 C.3 D.2

9.已知函数设，若函数仅有一个零点，则实数的取值范围是（）

A. B.

C. D.

10.设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0．已知是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（）

A.15 B.16 C.17 D.18

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.若二项式展开式中的常数项为160，则______．

12.设，分别是双曲线的左，右焦点．则双曲线的渐近线为________，若点在双曲线上，且，则________．

13.在正四棱锥中，，侧棱与底面所成角的余弦值为，则该正四棱锥的体积是_______．

14.如图，是边长为1的正三角形．曲线，，是分别以，，为圆心，，，为半径画的圆弧，称曲线为螺旋线旋转一圈，然后又以为圆心，为半径画弧，…，如此下去，可以得到一个优美的螺旋线.那么曲线的长度为________，画到第八圈，得到的螺旋线的总长度为________．

15.已知曲线．给出下列三个结论：

①曲线关于轴对称；

②曲线恰好经过6个整点（即横，纵坐标均为整数的点）；

③曲线上任意一点到原点的距离都不超过；

④曲线所围成的区域的面积小于3．

其中，所有正确结论的序号是________．

三、解答题共6小题，共85分.

16.在△ABC中，已知

（1）求角A；

（2）若求的面积．

17.无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向．某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障．在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表：

测试

结果

真实

路况

传感器1

传感器2

传感器3

有障碍

无障碍

无法识别

有障碍

无障碍

无法识别

有障碍

无障碍

无法识别

无障碍

4

15

1

1

15

4

8

12

0

有障碍

40

10

10

45

5

10

45

10

5

假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．

（1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器1对该路况判断正确的概率；

（2）从这80个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望；

（3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器．在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速．那么是否可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？（结论不要求证明）

18.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，为上一点，且满足．

（1）设平面平面，求证：；

（2）若已知点到平面的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知．求直线与平面所成角的正弦值.

条件①：平面平面；

条件②：；

19.已知椭圆，且过，两点．

（1）求的方程；

（2）设过点的直线交于，两点，过且平行于轴的直线与线段交于点，点与点关于点对称．证明：直线恒过点．

20.设函数，其中．函数是函数的导函数．

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）证明：当时，函数有且仅有一个零点，且；

（3）若，讨论函