精品解析：广东省广州大学附属中学2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（解析版）.docxVIP

广大附中2024—2025学年高二（下）第一次月考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知，则“为纯虚数”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项.

【详解】当为纯虚数时，设，则，

∴.

当时，可取，则纯虚数不成立.

综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

2.已知是定义在上的奇函数，若为偶函数且，则（）

A.3 B. C. D.0

【答案】D

【解析】

【分析】由为奇函数可得，再结合为偶函数，可得，从而可得，得周期，然后利用周期化简计算即可.

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，，

所以有，

由为偶函数可得，

故有，，

即，，

故，所以周期，且.

故

.

答案：D

3.若，则（）

A B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用平方和公式和二倍角公式化简即可得出答案.

【详解】因为，所以，所以同号，即，从而，

所以．

故选：C.

4.已知向量，则向量在上的投影向量为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用数量积的性质得到，然后求投影向量即可.

【详解】由，得，由，

得，则，

因此，在上的投影向量为.

故选：D.

5.设数列的前项之积为，满足，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】由已知递推式可得数列是等差数列，从而可得，进而可得值．

【详解】由，得，即，解得，

当时，，显然，则，

因此数列是首项为，公差为2的等差数列，，

则，所以.

故选：C

6.若、都有恒成立，则（）

A. B.

C. D.

【答案】A

【解析】

【分析】推导出，，将代入各选项中的代数式，利用基本不等式逐项判断即可.

【详解】显然不满足等式，所以，，则，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，故，A对B错；

，

当且仅当时，即当时，等号成立，即，CD都错.

故选：A.

7.在四面体中，，且与所成的角为.若该四面体的体积为，则它的外接球半径的最小值为（）

A. B.2 C.3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】将四面体补形为直三棱柱，设，由可得，在中，由勾股定理可得，利用余弦定理和基本不等式求解.

【详解】依题意，可将四面体补形为如图所示的直三棱柱.

因为与所成的角为，所以或.

设，外接球半径记为，外接球的球心如图点.

易知平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

于是，所以.

在中，，

在中，由余弦定理得，

显然当时，外接球的半径会更小，此时，

所以，

所以，故它的外接球半径的最小值为2.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键是将四面体补形为直三棱柱，转化为求直三棱柱外接球半径的最小值.

8.已知双曲线的两焦点分别为、，过右焦点作直线交右支于、点，且，若，则双曲线的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】令，可得出，，??由双曲线的定义可得出、，在中，利用余弦定理可出，可得出、，然后在中利用余弦定理可求得该双曲线的离心率的值.

【详解】令，由，得，，??

由双曲线定义，，

在中，，

由余弦定理可得，

得，整理得，

解得，所以，，．

在由余弦定理，

得，

整理得，则．

故选：D.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；

（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；

（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．

9.设一组样本数据满足，则（）

A.拿走，这组数据的方差变大 B.拿走，这组数据的方差变大

C.拿走，这组数据的方差减小 D.拿走，这组数据的方差减小

【答案】AD

【解析】

【分析】对于A，直接证明即可；对于B，C，构造反例即可；对于D可直接用拿走后的方差为零说明结论.

【详解】熟知对一组数据，其方差等于各个数据的平方的算术平均值与算术平均值的平方之差，即.

将拿走前后的方差分别记为.

对于A，给五个元素同时加上或减去同一个数，不影响方差，所以可以适当平移，使得剩下的4个元素：的平均值为0，

不妨设，则，，所以.

故

，

所以A正确；