高考数学一轮总复习第七章不等式及推理与证明题组训练47专题研究2数学归纳法.doc

题组训练47专题研究2数学归纳法

1．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为eq\f(1,2)n(n－3)条时，第一步检验第一个值n0等于()

A．1 B．2

C．3 D．0

答案C

解析边数最少的凸n边形是三角形．

2．(2017·山东德州一模)用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1，在验证n＝1时，左边的式子为()

A．1 B．1＋2

C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23

答案D

解析当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.故选D.

3．用数学归纳法证明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)eq\f(127,64)(n∈N*)成立，其初始值至少应取()

A．7 B．8

C．9 D．10

答案B

解析1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)＝eq\f(1－\f(1,2n),1－\f(1,2))eq\f(127,64)，整理得2n128，解得n7.

∴初始值至少应取8.

4．设f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()

A.eq\f(1,3n＋2) B.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)

C.eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2) D.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)

答案D

5．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为()

A．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1) B．34·34k＋1＋52·52k

C．34k＋1＋52k＋1 D．25(34k＋1＋52k＋1)

答案A

解析因为要使用归纳假设，必须将34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1分解为归纳假设和能被8整除的两部分．所以应变形为56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．

6．若数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,（n＋1）2)，记cn＝2(1－a1)(1－a2)…(1－an)，试通过计算c1，c2，c3的值，推测cn＝__________．

答案eq\f(n＋2,n＋1)

解析c1＝2(1－a1)＝2×(1－eq\f(1,4))＝eq\f(3,2)，

c2＝2(1－a1)(1－a2)＝2×(1－eq\f(1,4))×(1－eq\f(1,9))＝eq\f(4,3)，

c3＝2(1－a1)(1－a2)(1－a3)＝2×(1－eq\f(1,4))×(1－eq\f(1,9))×(1－eq\f(1,16))＝eq\f(5,4)，

故由归纳推理得cn＝eq\f(n＋2,n＋1).

7．设数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的自然数n都有：(Sn－1)2＝anSn.

(1)求S1，S2，S3；

(2)猜想Sn的表达式并证明．

答案(1)S1＝eq\f(1,2)，S2＝eq\f(2,3)，S3＝eq\f(3,4)(2)Sn＝eq\f(n,n＋1)，证明略

解析(1)由(S1－1)2＝S12，得S1＝eq\f(1,2)；

由(S2－1)2＝(S2－S1)S2，得S2＝eq\f(2,3)；

由(S3－1)2＝(S3－S2)S3，得S3＝eq\f(3,4).

(2)猜想：Sn＝eq\f(n,n＋1).

证明：①当n＝1时，显然成立；

②假设当n＝k(k≥1且k∈N*)时，Sk＝eq\f(k,k＋1)成立．

则当n＝k＋1时，由(Sk＋1－1)2＝ak＋1Sk＋1，得Sk＋1＝eq\f(1,2－Sk)＝eq\f(1,2－\f(k,k＋1))＝eq\f(k＋1,k＋2).

从而n＝k＋1时，猜想也成立．

综合①②得结论成立．

8．已知函数f(x)＝x－sinx，数列{an}满足：0a11，an＋1＝f(an)，n＝1，2，3，…，证明：0an＋1an1.

答案略

解析先用数学归纳法证明0an1，n＝1，2，3，….

①当n＝1时，由已知，结论成立．

②假设当n＝k时结论成立，即0ak1.

因为0x1时，f′(x)＝1－cosx0，

所以f(x)在(0，1)上是增函数．

又f(x)在[0，1]上连续，

从而f(0)f(ak)f(1)，

即0ak＋11－sin11.

故当n＝k＋1时，结论成立．

由①②可知，0an1对一切正整数都成立．

又因为0an1时，

an＋1－an＝an－sinan－an＝－sinan0，

所以an＋1an.

综上所述0an