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2024-2025学年河南省开封市高二上学期开学摸底考数学检测
试卷(一)
一、选择题(每小题5分,共8小题40分)
1.已知复数,则(????)
A. B. C. D.
2.在中,角的对边分别为,已知,,则(????)
A. B. C. D.
3.已知m,n是两条不同的直线,是三个不同的平面,下列命题正确的是(????)
A.若,,∥,则∥ B.若,,则
C.若,,,则 D.若,∥,则
4.向量与的夹角为(????)
A. B. C. D.
5.数据1,2,5,4,8,10,6的第60百分位数是(????)
A.4.5 B.5.5 C.6 D.8
6.已知两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,下列四个命题中正确的为(????)
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
7.某学校高一年级学生有900人,其中男生500人,女生400人,为了获得该校高一全体学生的身高信息,现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本,经计算得男生样本的均值为170,女生样本的均值为161,则抽取的样本的均值为是(????)
A.165.5 B.166 C.166.5 D.168
8.在如图所示的电路中,三个开关,,闭合与否相互独立,且在某一时刻,,闭合的概率分别为,,,则此时灯亮的概率为(????)
??
A. B. C. D.
二、多选题(每小题6分,共3小题18分)
9.已知向量,满足,则以下说法正确的是(????)
A.若,,则或
B.若,则
C.若,,则向量在向量上的投影数量为
D.向量在向量上的投影向量为
10.某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况,从800位员工中抽取了100名员工进行调查,根据这100人的服务时长(单位:小时),得到如图所示的频率分布直方图.则(????)
A.a的值为0.018 B.估计员工平均服务时长为45小时
C.估计员工服务时长的中位数为48.6小时 D.估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人
11.如图,在正方体中,,分别为,的中点,则下列结论正确的是(????)
A.直线与所成的角的大小为
B.直线平面
C.平面平面
D.直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题(每小题5分,共3小题15分)
12.已知向量的夹角为,且,则.
13.某校为了解今年春季学期开学第一周,高二年级学生参加学校社团活动的时长,有关部门随机抽查了该校高二年级100名同学,统计他们今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长,并绘制成如图所示的频率分布直方图.其中这100名同学今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长(单位:小时)范围是,数据分组为.这100名同学中,今年春季学期开学第一周参加学校社团活动的时长不少于6小时的人数为人.
14.镇江西津渡的云台阁,是一座宋元风格的仿古建筑,始建于2010年,目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图,在云台阁旁水平地面上共线的三点A,B,C处测得其顶点P的仰角分别为30°,60°,45°,且米,则云台阁的高度为米.
??
四、解答题(15小题13分,16-17小题15分,18-19小题17分,共5小题77分)
15.已知平面向量,.
(1)若,求;
(2)若,求.
16.已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,.
(1)若,,求A;
(2)若,求周长的最大值.
17.某消防队为了了解市民对“消防基本常识”的认知程度,针对本市不同年龄的人举办了一次“消防之星”知识竞赛,满分100分(95分及以上为.“消防之星”),共有100人荣获“消防之星”称号,将其按年龄分成以下五组:第一组,第二组,第三组,第四组40,50,第五组,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图,估计这些人的平均年龄和第80百分位数;
(2)若从第三组,第四组,第五组三组中分层抽取6人,再从这6人中随机抽取2人,求抽取的2人年龄在不同组的概率;
(3)若第三组的年龄的平均数与方差分别为36和2,第四组的年龄的平均数与方差分别为46和4,据此计算这100人中第三组与第四组所有人的年龄的方差.
附:
18.如图,直三棱柱中,与交于点O,M为线段AC的中点,,.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面平面;
(3)求三棱锥的体积.
19.如图,在四棱锥中,侧棱底面,四边形为正方形,且,点为棱的中点,点为棱上一点.
(1)若点为中点,求证:平面;
(2)若点满足,
(i)求证:;
(ii)求直线与平面所成角的正切值.
1.D
【分析】先求共轭复数,再根据复数代数形式的除法运算化简复数即可.
【详解】因为,所以,
所以.
故选:D.
2.D
【分析】利用两角和与差的余弦展开式化简可得,由正弦定理得,再利用正
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