2024秋九年级数学上册第21章二次函数与反比例函数21.4二次函数的应用1求几何面积的最值问题教案新版沪科版.docVIP

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21.4.1求几何面积的最值问题

教学目标

【学问与技能】

能应用二次函数的图象来分析问题、解决问题,在应用中体会二次函数的实际意义.

【过程与方法】

1.通过将二次函数应用于解决实际问题体验数学在实际生活中的广泛应用,发展数学思维.

2.在数学建模中使学生学会沟通、合作.

【情感、看法与价值观】

培育学生独立思索和合作探究的实力,在沟通、探讨的过程中培育学生的交际实力和语言表达实力,促进学生综合素养的养成.

重点难点

【重点】

用二次函数的性质解决实际问题,特殊是最大值、最小值问题.

【难点】

建立二次函数的数学模型.

教学过程

一、创设情境,导入新知

师:二次函数有哪些性质?

学生回忆.

老师提示:结合函数的图象.

生:y随x的改变增减的性质,有最大值或最小值.

师:很好!我们今日就用二次函数和它的这些性质来解决教材21.1节开关提出的一个实际问题.

二、共同探究,获得新知

老师多媒体课件出示:

某水产养殖户用长40m的围网,在水库中围一块矩形的水面,投放鱼苗,设此矩形水面的长为xm,面积为Sm2.那么,S与x之间有怎样的函数关系?要使围成的水面面积最大,它的长应是多少米?

学生沟通、探讨.

生:S与x之间的函数关系式为:S=x(20-x).要使围成的水面面积最大,就要使S取得最大值,它的长应当取图象顶点的横坐标.

师:你回答得很好!那怎么求出这个横坐标呢?

生甲:配方,变为顶点式求出.

生乙:干脆用顶点横坐标的公式x=-.

师:同学们回答得很好!用这两种方法都可以求出.请同学们求一下面积最大时长应是多少,并求出最大面积是多少.

学生计算后回答.

生:将这个函数关系式配方,得

S=-(x-10)2+100(0x20)

明显,这个函数的图象是一条开口向下的抛物线中的一段,它的顶点坐标是(10,100),所以,当x=10m时,函数取得最大值,最大值为S最大值=100m2

这就是说,当围成的矩形水面长为10m,宽为10m时,它的面积最大,最大面积是100m2

老师多媒体课件出示:

某商品现在的售价为每件10元,一周可卖出50件.市场调查表明:这种商品假如每件涨价1元,每周要少卖出5件.已知该商品的进价为每件8元,问每件商品涨价多少才能使每周得到的利润最大?

师:请同学们思索一下,若我们设每件商品涨价x元,那么销售额为多少?

学生思索、计算.

生:销售额为(10+x)(50-5x).

师:进货额为多少?

生:进货额为8(50-5x).

师:利润呢?

生:利润等于销售额减去进货额,即(10+x)(50-5x)-8(50-5x).

师:那还有没有其他的计算利润的方法了呢?

学生思索.

生:还可以先表示出每件的利润,然后乘以数量,就是总的利润.

师:思路是对的,详细的式子是什么呢?

生:每件的利润为(10+x-8),数量为(50-5x),总利润为(10+x-8)(50-5x).

师:变量x的取值范围怎么确定?

生:x≥0且应满意50-5x0,因为数量应为正值.

师:如何求得涨价多少利润最大呢?

生:x取顶点的横坐标时利润最大,此时最大值为顶点的纵坐标.

师:很好,但你还要留意顶点的横坐标在不在自变量的取值范围内.当极值点在自变量的取值范围内时,极值点就是函数的最值点.若极值点不在函数自变量的取值范围内,你怎么求函数的最值呢?

学生思索,沟通.

老师提示:请同学们画出符合这个条件一条抛物线,最值点不在自变量的取值范围内时,图象与完整的抛物线的对称轴有什么关系?

学生作图后视察.

生:图象在完整的抛物线的对称轴的一侧.

师:在一侧,y是不是随x的改变而改变?

生:是.

师:所以在这种状况下,在它的两个端点处取到极值.还要留意的是,在解决有关销量与售价的问题时,你要看清晰是问售价是多少时的销售额或利润,还是问涨价多少时的销售额或利润?请同学们分别回答下列情形时的式子.

老师多媒体课件出示:

售价为a元时,一周可卖出m件,每涨价p元,每周要少卖出n件,每件的进价为r元

1.售价为x元时的销售额s为多少?利润f为多少?

老师找一生回答.

老师板书:

s=x(m-n),f=(x-r)(m-n)

2.涨价x元时的销售额s为多少?

老师找一生回答.

老师板书:

s=(a+x)(m-n),f=(a+x-r)(m-n)

老师多媒体课件出示:

如图(1),悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索,其形态可近似地看作抛物线,水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知两端主塔之间水平距离为900m,两主塔塔顶距桥面的高度为81.5m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5m.

(1)若以桥面所在直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴,建立平面直角坐标系,如图(2),求这条抛物线对应的函数表达式;

(2)计算距离桥两端主塔分别为100m、50m处垂直钢索的长