2025版新教材高中数学第五章三角函数5.1第1课时两角差的余弦公式学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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第1课时两角差的余弦公式

课标解读

课标要求

素养要求

1.了解两角差的余弦公式的推导过程,知道两角差的余弦公式的意义.

2.能利用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.

数学运算——会运用两角差的余弦公式进行化简、求值、证明.

自主学习·必备学问

教材研习

教材原句

对于随意角α，β有cos(α-β)=

此公式给出了随意角α，β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作C(α-β)

自主思索

1.利用差角的余弦公式求cos?

答案：提示cos?

名师点睛

1.两角差的余弦公式不要记为cos(α-β)=cosα-cosβ或cos(α-β)=cosαcos

2.应用两角差的余弦公式时,要明确公式的特点：公式左边是差角的余弦,公式右边的式子是含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余,正正,号相反”记忆公式.

互动探究·关键实力

探究点一给角求值

精讲精练

例求值：

（1）cos13?

（2）sin

（3）cos5?

（4）12

答案：（1）原式=

=-2

（2）原式=

=

=cos

（3）原式=

=

=cos

（4）原式=cos

解题感悟

解含非特别角的三角函数式的求值问题,可把非特别角转化为特别角的和或差,用公式干脆求值.在转化过程中,充分利用诱导公式,构造两角差的余弦公式的结构形式,然后逆用公式求值.

迁移应用

1.求值：

（1）cos(-

（2）cos?

（3）cos(θ+

答案：（1）原式=

=2

（2）原式=

=

=cos

（3）原式=

=cos

探究点二给值求值

精讲精练

例（1）已知sin(π3+α)=12

（2）已知sin(π3-α)=-12

答案：（1）因为α∈(π6,

所以cos(

因为α=(π3

=cos

（2）因为π6＜α＜5?

又sin(π3

所以cos(

所以cos

=

=5

解题感悟

已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要留意视察已知角与所求表达式中的角的关系,在解题过程中可以依据须要敏捷地进行拆角或凑角.

常见角的变换有：

①α=（α-β）+β；

②α=α+β

③2α=（α+β）+（α-β）；

④2β=（α+β）-（α-β）.

迁移应用

1.已知sin(α+π4)=-1

答案：因为α∈(5?

所以α+π

所以cos

=1-(-

所以cos

=

=

=4-

探究点三给值求角

精讲精练

例已知sin(π-α)=437，

答案：因为sin(

所以sinα=

因为0＜α＜π2,所以

因为cos(α-β)=1314,且0＜β＜α＜

所以sin(α-β)=

所以cosβ=

因为0＜β＜π2,所以

解题感悟

已知三角函数值求角的解题步骤

（1）依据条件确定所求角的范围;

（2）求所求角的某种三角函数值,为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数;

（3）结合三角函数值及角的范围求角.

迁移应用

1.已知cos(α-β)=-35，cos(α+β)=35,且

答案：由α-β∈(π2,π)

因为α+β∈(3?π2

所以sin(α+β)=-

cos

=

=3

因为α-β∈(π2,

所以2β∈(π2,3?π

评价检测·素养提升

1.cos?

A.cos

B.cos

C.sin

D.sin

答案：B

2.若sinαsinβ=1

A.0B.1

C.±1D.-1

答案：B

3.（2024湖南益阳箴言中学高一检测）已知α为锐角,β为第三象限角,且cosα=1213,sin

A.-6365

C.6365D.

答案：A

解析：因为α为锐角,cosα=1213

因为β为第三象限角,sinβ=-

所以cosβ=-

所以cos(α-β)=

4.化简：cos(α-

答案：1

解析：原式=cos