2025高考数学二轮复习专题练三核心热点突破专题一三角函数与解三角形规范答题示范课_三角函数及解三角形解答题含解析.doc

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规范答题示范课——三角函数及解三角形解答题

[破题之道]该类解答题是高考的热点，其起点低、位置前，但由于涉及的公式多、性质繁，使不少同学对其有种畏惧感.突破此类问题的关键在于“变”——变角、变式与变名.

【典例示范】(12分)(2019·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.

(1)求A；

(2)若eq\r(2)a＋b＝2c，求sinC.

规范解答(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，

故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.2′

用正弦定理化角为边

由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).4′

用余弦定理化边为角

由于0°A180°，所以A＝60°.5′

(2)由(1)知B＝120°－C，

由题设及正弦定理得eq\r(2)sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，6′

即eq\f(\r(6),2)＋eq\f(\r(3),2)cosC＋eq\f(1,2)sinC＝2sinC，

可得cos(C＋60°)＝－eq\f(\r(2),2)，8′

两角和余弦公式的逆用

由于0°C120°，

所以sin(C＋60°)＝eq\f(\r(2),2)，10′

同角基本关系式的应用

故sinC＝sin(C＋60°－60°)

＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).12′

两角差正弦公式的应用

[高考状元满分心得]

?写全得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤肯定要写全，如第(1)问中只要写出0°A180°就有分，没写就扣1分，第(2)问中0°C120°也是如此.

?写明得关键分：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，第(2)问中cos(C＋60°)＝－eq\f(\r(2),2)等.

?保证正确得计算分：解题过程中计算精确，是得满分的根本保证，如eq\f(\r(6),2)＋

eq\f(\r(3),2)cosC＋eq\f(1,2)sinC＝2sinC化简假如消灭错误，本题第(2)问最多得1分.

[满分体验]

(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsinA－eq\r(3)a＝0.

(1)求角B的大小；

(2)求cosA＋cosB＋cosC的取值范围.

解(1)由正弦定理，得2sinBsinA＝eq\r(3)sinA，

又在△ABC中，sinA0，

故sinB＝eq\f(\r(3),2)，由题意得B＝eq\f(π,3).

(2)由A＋B＋C＝π，得C＝eq\f(2π,3)－A.

由△ABC是锐角三角形，得A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2))).

由cosC＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－A))＝－eq\f(1,2)cosA＋eq\f(\r(3),2)sinA，得

cosA＋cosB＋cosC＝eq\f(\r(3),2)sinA＋eq\f(1,2)cosA＋eq\f(1,2)

＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).

故cosA＋cosB＋cosC的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)＋1,2)，\f(3,2))).