【条件概率8大题型归纳】【基础+提升】【解析】.docx

2024-2025学年高二下学期数学常考题型归纳

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【条件概率与全概率公式】

总览

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题型梳理

题型

题型分类

知识讲解与常考题型

【题型1：利用定义求条件概率】

知识讲解

知识讲解

1.定义：设、是两个事件，且，称为在事件发生的条件下事件发生的条件概率。这里表示事件与事件同时发生的概率。

2.理解：条件概率刻画的是在已知事件已经发生的情况下，事件发生的可能性大小。与无条件概率相比，它增加了“事件发生”这个前提条件。

3.示例：例如，掷一枚质地均匀的骰子，样本空间。设事件“掷出偶数点”，事件“掷出的点数大于”，那么。，，所以。这表示在已知掷出偶数点的条件下，掷出的点数大于的概率为。

4.性质：

非负性：对于任意事件，有。

规范性：，其中是样本空间。

可列可加性：如果事件两两互斥，则。

5.乘法公式：由条件概率的定义可得（当时），这就是概率的乘法公式。该公式可以推广到多个事件的情形，例如对于三个事件、、，且，有。

例题精选

例题精选

【例题1】（22-23高二下·北京延庆·期中）已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据条件概率公式直接求解即可.

【详解】记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”，

则，

所以.

故选：A.

【例题2】（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记“两次的点数均为偶数”，“两次的点数之和为6”，则（?????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据条件概率公式，结合列举法，即可求解.

【详解】事件包含的样本点有，共5个样本点，

其中“两次的点数均为偶数”的有，共2个样本点，

所以.

故选：D

【例题3】（23-24高二下·辽宁沈阳·期中）某天李老师驾车在青年大街上行驶，前方刚好有两个红绿灯路口，李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯的概率为，连续经过这两个红绿灯路口时都是绿灯的概率为.用事件表示“李老师经过第一个红绿灯路口时是绿灯”，事件表示“李老师经过第二个红绿灯路口时是绿灯”，则（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用条件概率公式列式计算即得.

【详解】依题意，，所以.

故选：D

相似练习

相似练习

【相似题1】（24-25高三上·广东广州·期中）A同学和B同学参加某市青少年围棋比赛并进入决赛，决赛采取“3局2胜”制，若A同学每局获胜的概率均为，且每局比赛相互独立，则在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的穊率是.

【答案】

【分析】求出前两局甲胜以及甲第一局和第三局胜，第二局输的概率，根据条件概率的概率公式即可求得答案.

【详解】在A先胜一局的条件下，A再胜第二局，即前两局A胜的概率为，

A第一局和第三局胜，第二局输的概率为，

所以在A先胜一局的条件下，A最终能获胜的概率是.

故答案为：

【相似题2】（23-24高二下·天津红桥·期末）已知甲同学在上学途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲同学在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率是.

【答案】/

【分析】根据给定条件，利用条件概率公式列式计算即得.

【详解】令“第一个路口遇到红灯”，“第二个路口遇到红灯”

则，于是，

所以所求概率为.

故答案为：

【相似题3】（23-24高二下·吉林·期中）盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求；

(1)取两次，两次都取得二等品的概率；

(2)取两次，第二次取得二等品的概率；

(3)取两次，已知第一次取得二等品的条件下，第二次取得的是一等品的概率．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）（2）借助排列、组合列式求出取两次的基本事件总数，再求出所求概率的事件含有的基本事件数，利用古典概率求解即得.

（2）利用缩小空间的方法求出条件概率.

【详解】（1）取产品两次的基本事件总数为，两次都取得二等品的事件含有个基本事件，

所以取两次，两次都取得二等品的概率.

（2）取产品两次的基本事件总数为，第二次取得二等品的事件含有个基本事件，

所以取两次，第二次取得二等品的概率.

（3）取两次，第一次取得二等品的条件下，还有4个产品，3个一等品，1个二等品，

所以第二次取得的是一等品的概率是.

【题型2：条件概率乘法公式】

知识讲解

知识讲解

公式形式：对于两个事件和，如果，那么。也就是说，事件和同时发生的概率等于事件发生的概率乘以在发生的条件下发生的概率。

公式推广：

对于三个事件、、，如