解三角形题型总结很全面.docVIP

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解三角形

要点一、正弦定理和余弦定理的概念

①正弦定理公式：

（其中R表示三角形的外接圆半径）

②余弦定理公式：

第一形式：

第二形式：

要点二、三角形的面积公式

①；

②；

要点三、利用正、余弦定理解三角形

已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.

在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：

①若A为锐角时：

一解一解

两解无解

②若A为直角或钝角时：

要点四、三角形的形状的判定

特殊三角形的判定：

（1）直角三角形

勾股定理：，

互余关系：，，；

（2）等腰三角形

，；

用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）

（1）在中，；

（2）在中，；

（3）在中，；

要点五、解三角形时的常用结论

在中，，

（1）在中

（2）互补关系：，

，

；

（3）互余关系：，

，

.

【典型例题】

类型一：利用正、余弦定理解三角形

例1.在中，已知下列条件，解三角形.

（1）,,；

（2），，.

【总结升华】

举一反三：

【变式1】△ABC中，已知c=1，b=，∠B=45°，求∠C和a.

【变式2】在中,求角；

【变式3】在中，若，，，求角和．

例2、(1)已知在△ABC中，a＝20，A＝30°，C＝45°，求B，b，c.

(2)在△ABC中，a＝1，b＝eq\r(3)，A＝30°；

(3)已知△ABC的三边长为a＝2eq\r(3)，b＝2eq\r(2)，c＝eq\r(6)＋eq\r(2)，求△ABC的各角度数．

(4)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，c＝4(eq\r(3)＋1)，解此三角形．

（5）在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3)，B＝30°，求角A、角C和边a.

【总结升华】

举一反三：

【变式】△ABC中，A=45°，a=2，求b和B，C.

1.在△ABC中，已知a＝2，c＝eq\r(6)，C＝eq\f(π,3)，求A，B，b.

2.在△ABC中，已知a＝2，c＝eq\r(6)，A＝eq\f(π,4)，求C，B，b.

3．在△ABC，已知a＝2eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，C＝15°，解此三角形

类型二、利用正弦、余弦定理解三角形

例3.在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，则BC＝()

A.B.C．D.

【总结升华】

举一反三：

【变式1】如图，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD，则sinC的值为（）

A．B．C．D．

【变式2】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c。若，，则A=（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

【变式3】已知△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则的值为________

【变式4】△ABC的周长等于2（sinA+sinB+sinC），则其外接圆半径等于．

【变式5】已知△ABC周长为4，sinA+sinB=3sinC，则AB=

【变式6】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且A=30°，2asinB=3，则b=．

【变式7】在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，a=5，A=，cosB=，则边c=．

类型三、利用正余弦定理判定三角形形状

例4．已知△ABC中，a=6，b=8，c=9，试判断此三角形的形状。

【总结升华】

余弦定理用于判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）

（1）在中，；

（2）在中，；

（3）在中，；

举一反三：

【变式】判断下列三角形的形状：

(1)a=6，b=8，c=10；(2)a=6，b=8，c=11

例5．已知△ABC中，试判断△ABC的形状.

【总结升华】

举一反三：

【变式1】根据下列条件，试判断△ABC的形状.

（1）bcosA=acosB；（2）a=2bcosC

【变式2】在△ABC中，根据下列条件决定三角形形状.

(1)；(2).

例6．锐角中，a,b,c分别是角A,B,C的对边。

若求的大小

取最大值时，求的大小

【总结升华】

举一反三：

【变式】在中，三内角满足的方程

有两