2024_2025学年高中数学第二章随机变量及其分布2.4正态分布学案含解析新人教A版选修2_31.doc

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2.4正态分布

自主预习·探新知

情景引入

高斯是一个宏大的数学家，一生中的重要贡献不胜枚举．德国的10马克纸币上印有高斯的头像和正态分布的曲线，这就传达了一个信息：在高斯的科学贡献中，对人类文明影响最大的是“正态分布”．

那么，什么是正态分布？正态分布的曲线有什么特征？

新知导学

1．正态曲线及其性质

(1)正态曲线：

函数φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(?x－μ?2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质：

①曲线位于x轴__上方__，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线__x＝μ__对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值__eq\f(1,\r(2π)σ)__；

④曲线与x轴之间的面积为__1__；

⑤当σ肯定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ肯定时，曲线的外形由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小；曲线越“瘦高”，总体分布越集中，如图乙所示．

甲乙

2．正态分布

一般地，假如对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝eq\i\in(a,b,)φμ，σ(x)dx，则称随机变量X听从正态分布(normaldistribution)．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．假如随机变量X听从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．

3．正态总体三个特别区间内取值的概率值

①P(μ－σX≤μ＋σ)＝__0.6826__；

②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝__0.9544__；

③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝__0.9974__．

4．3σ原则

通常听从正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．

预习自测

1．(2024·遂宁模拟)已知随机变量ξ听从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ＜2)＝P(ξ＞6)＝0.15，则P(2≤ξ＜4)等于(B)

A．0.3 B．0.35

C．0.5 D．0.7

[解析]由题意可得P(2≤ξ4)＝eq\f(1－0.15×2,2)＝0.35，

故选B．

2．(2024·孝义市一模)一次考试中，某班学生的数学成绩X近似听从正态分布N(100,100)，则该班数学成绩的及格率可估量为(成绩达到90分为及格)(参考数据：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.68)(D)

A．60% B．68%

C．76% D．84%

[解析]∵X听从正态分布N(100,100)，

∴P(90≤X＜100)＝eq\f(1,2)P(90≤X≤110)

＝eq\f(1,2)×0.68＝0.34，

P(X≥100)＝0.5，

∴P(X≥90)＝0.34＋0.5＝0.84．

故选D．

3．已知随机变量ξ听从正态分布N(1，σ2)，且P(ξ2)＝0.6，则P(0ξ1)＝__0.1__．

[解析]∵随机变量ξ听从正态分布N(1，σ2)，

∴曲线关于直线x＝1对称，

∵P(ξ2)＝0.6，

∴P(0ξ1)＝0.6－0.5＝0.1，

故答案为0.1．

4．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ听从正态分布N(100，102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估量该班学生数学成绩在110分以上的人数为__10__．

[解析]由ξ～N(100,102)知，μ＝100，σ＝10，

又P(90≤ξ≤100)＝0.3，

∴P(ξ110)＝P(ξ90)＝eq\f(1－P?90≤ξ≤110?,2)

＝eq\f(1－2P?90≤ξ≤100?,2)＝eq\f(1－2×0.3,2)＝0.2．

∴该班学生成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10人．

5．商场经营的某种包装的大米质量听从正态分布N(10，0.12)(单位：kg)．任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2kg的概率是多少？

[解析]由于大米的质量听从正态分布N(10,0.12)，要求质量在9.8～10.2的概率，需化为(μ－2σ，μ＋2σ)的形式，然后利用特别值求解．

由正态分布N(10,0.12)知，μ＝10，σ＝0.1，

所以质量在9.8～10.2kg的概率为P(10－2×0.1X≤10＋2×0.1)＝0.9544．

互动探究·攻重难

互动探究解疑

命题方向?

正态曲线及其性质

典例1如图所示是一个正态曲线，试依据该图象写出其正态分布概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的数学期望和方差．

[解析]从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值是eq\f(1,2\r(π))，所以eq\f(1,\r(2π)·