2024_2025学年新教材高中数学第七章随机变量及其分布十一离散型随机变量的均值课时素养评价含解析新人教A版选择性必修第三册.doc

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十一离散型随机变量的均值

(25分钟·50分)

一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

1.(多选题)下列说法不正确的是()

A.随机变量X的数学期望E(X)是个变量,其随X的变化而变化

B.随机变量的均值反映样本的平均水平

C.若随机变量X的数学期望E(X)=2,则E(2X)=4

D.随机变量X的均值E(X)=QUOTE

【解析】选ABD.A错误,随机变量的数学期望E(X)是个常量,是随机变量X本身固有的一个数字特征.B错误,随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平.C正确,由均值的性质可知.D错误,由于E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn.

2.设0p1,随机变量X,Y的分布列分别为

X

1

2

3

P

p2

1-p

p-p2

Y

1

2

3

P

p3

1-p2

p2-p3

当X的数学期望取得最大值时,Y的数学期望为()

A.2B.QUOTEC.QUOTED.QUOTE

【解析】选D.由于E(X)=p2+2QUOTE+3QUOTE=-2p2+p+2=-2QUOTE+QUOTE,所以当p=QUOTE时,E(X)取得最大值.此时E(Y)=-2p3+p2+2=QUOTE.

3.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点,一位客人巡游这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6,且此人是否巡游哪个景点互不影响,设ξ表示客人离开该城市时巡游的景点数与没有巡游的景点数之差的确定值.则E(ξ)等于()

A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1

【解析】选A.随机变量ξ的取值有1,3两种状况,ξ=3表示三个景点都巡游了或都没有巡游,所以P(ξ=3)=0.4×0.5×0.6+0.6×0.5×0.4=0.24,P(ξ=1)=1-0.24=0.76,

所以随机变量ξ的分布列为

ξ

1

3

P

0.76

0.24

E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48.

4.甲、乙两台自动车床生产同种标准件,ξ表示甲车床生产1000件产品中的次品数,η表示乙车床生产1000件产品中的次品数,经一段时间考察,ξ,η的分布列分别是:

ξ

0

1

2

3

P

0.7

0.1

0.1

0.1

η

0

1

2

3

P

0.5

0.3

0.2

0

据此判定()

A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好

C.甲与乙质量相同 D.无法判定

【解析】选A.

E(ξ)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,

E(η)=0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7.

由于E(η)E(ξ),故甲比乙质量好.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.已知随机变量X的分布列为

X

1

2

3

P

且Y=aX+3,若E(Y)=-2,则E(X)=________,?a=________.?

【解析】E(X)=1×QUOTE+2×QUOTE+3×QUOTE=QUOTE.

由于Y=aX+3,所以E(Y)=aE(X)+3=QUOTEa+3=-2.

解得a=-3.

答案:QUOTE-3

【加练·固】

已知某离散型随机变量ξ的数学期望E(ξ)=QUOTE,ξ的分布列如表:

ξ

0

1

2

3

P

a

b

则a=________.?

【解析】E(ξ)=QUOTE=0×a+1×QUOTE+2×QUOTE+3b?b=QUOTE,又P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)+P(ξ=3)=1?a+QUOTE+QUOTE+QUOTE=1?a=QUOTE.

答案:QUOTE

6.节日期间,某种鲜花的进价是每束2.5元,售价是每束5元,节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理.依据前5年节日期间对这种鲜花需求量ξ(束)的统计(如表),若进这种鲜花500束在今年节日期间销售,则利润的均值是________元.?

ξ

200

300

400

500

P

0.20

0.35

0.30

0.15

【解析】节日期间这种鲜花需求量的均值为E(ξ)

=200×0.20+300×0.35+400×0.30+500×0.15=340(束).设利润为η,则η=5ξ+1.6×(500-ξ)-500×2.5=3.4ξ-450,所以E(η)=3.4E(ξ)-450=3.4×340-450=706(元).

答案:706

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统)A和B,系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为QUOTE和p.

(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概