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2024级广州大学附属中学高一下学期3月测试卷

数学

本试卷共4页,19小题,满分150分.考试用时120分钟.

注意事项:

1、答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题纸上.写在本试卷上无效.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知平面向量,,若,则k=()

A. B.6 C. D.-6

2.()

A. B. C. D.

3.若向量与夹角为锐角,则t的取值范围为()

A. B.

C. D.

4.已知在△ABC中,,若三角形有两解,则x的取值范围是()

A. B.

C D.

5.如图,已知点是的重心,过点作直线分别与,两边交于,两点,设,,则的最小值为()

A. B.4 C. D.3

6.已知向量,满足,,且,则,的夹角的最小值为()

A. B. C. D.

7.已知函数,.若有2个零点,则实数a的取值范围是()

A. B.

C. D.

8.我国古代数学家秦九韶左《数书九章》中记述了了“一斜求积术”,用现代式子表示即为:在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则的面积,根据此公式,若,且,则的面积为()

A. B.

C. D.

二、多选题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.设,是复数,则下列说法正确的是()

A.若是纯虚数,则

B.若,则

C.若,则

D.若,则

10.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形的边长为是正八边形边上任意一点,则下列结论正确的是()

A.

B.在向量上的投影向量为

C.若,则P为的中点

D.若P在线段上,且,则取值范围为

11.已知函数,,,,下列选项中正确的有()

A.函数、、都偶函数

B.若且,则

C.若且,则+=1

D.若,则

三、填空题,本题共3小题,每小题5分,共15分.

12.在以为顶点的三棱锥中,过的三条棱两两的交角都是,在一条侧棱上有,两点,,,以,为端点的一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),则此绳在,之间的最短绳长为________.

13.如图,某直径为海里圆形海域上有四个小岛,已知小岛B与小岛C相距为5海里,.则小岛B与小岛D之间的距离为___________海里;小岛B,C,D所形成的三角形海域BCD的面积为___________平方海里.

14.如图,菱形的边长为6,,,则的取值范围为________.

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知两个非零向量与不共线.

(1)若,求证:三点共线;

(2)试确定实数,使和共线.

16.已知,复数,.

(1)若在复平面内对应的点位于第三象限,求的取值范围;

(2)设为坐标原点,,在复平面内对应的点分别为,(不与重合),若,求.

17.在中,,,,点,在边上且,.

(1)若,用,表示,并求线段的长;

(2)若,,求的值.

18.已知函数.

(1)求函数的解析式及对称中心;

(2)若,且,求的值.

(3)在锐角中,角、、分别为、、三边所对的角,若,求周长的取值范围.

19.若函数自变量的取值区间为时,函数值的取值区间恰为,就称区间为的一个“和谐区间”.已知函数是定义在上的奇函数,当时,.

求的解析式;

求函数在内的“和谐区间”;

若以函数在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数的图像,是否存在实数,使集合恰含有个元素.若存在,求出实数的取值集合;若不存在,说明理由.

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