2025届高考数学二轮专题复习9空间几何体的结构特征表面积和体积.docxVIP

PAGE

PAGE18

空间几何体的结构特征、表面积和体积

1．柱、锥、台的表面积和体积

1．已知一个圆锥的体积为，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【解析】设底面半径为，高为，母线为，如图所示：

则圆锥的体积，所以，即，

，则，

又，所以，故，故选C．

2．祖暅（公元世纪，祖冲之之子），是我国齐梁时代的数学家，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这句话的意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图将底面直径皆为，高皆为的椭半球体和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面上，用平行于平面且与距离为的平面截两个几何体得到及两截面，可以证明总成立．据此，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积是（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意可知，短轴长为，长半轴为的椭半球体的体积为，

故选A．

3．阿基米德（公元前287年~公元前212年），宏大的古希腊哲学家、数学家和物理学家．他发觉“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完备的结论．已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设圆柱的底面半径为，则其母线长为，

因为圆柱的表面积公式，所以，解得，

因为圆柱的体积公式为，所以，

由题知，圆柱内切球的体积是圆柱体积的，

所以所求圆柱内切球的体积为，故选D．

4．在棱长为2的正方体中，，，，分别为棱，，，的中点，将该正方体挖去两个四分之一圆锥，得到如图所示的几何体，则该几何体的体积为___________．

【答案】

【解析】因为该几何体为正方体挖去两个四分之一圆锥，所以圆锥，，

，

故答案为．

5．如图，该几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的，若被截的正方体棱长为2，则该几何体的表面积为（）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】依据题意，该几何体的表面积分成两部分，一部分是6个完全相同的正方形，另一部分是8个完全相同的等边三角形，

6个完全相同的正方形的面积之和为：，

8个完全相同的等边三角形的面积之和为，

故该几何体的表面积为，故选B．

6．三棱锥的底面是边长为3的正三角形，，，则三棱锥的体积等于（）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】将三棱锥翻转一下，如图所示，

因为，所以，所以为直角三角形，

由斜线长相等，则射影长相等，可得点A在平面内的射影为直角三角形的外心，

所以为直角斜边的中点，且平面，则为三棱锥的高，

由勾股定理可得，

所以三棱锥的体积，

故选A．

7．已知正三棱锥的高为9，平行于底面的平面截三棱锥得到正三棱锥和棱台，若正三棱锥的高为3，，则正三棱锥的体积是________，棱台的体积是________．

【答案】，

【解析】如图所示，

由棱台的性质可知，且，

所以，即，且，即，

所以，

，

，

故答案为，．

8．如图，一个装有某种液体的圆柱形容器固定在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为，液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，则容器内液体的体积是（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F，

因为MN平行于地面，故，

椭圆长轴上的顶点，到容器底部的距离分别是12和18，

故，

在中，，即圆柱的底面半径为，

所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为的圆柱体积的一半，

即为，故选C．

9．在直角中，是斜边上一点，与绕边所在直线旋转一周得到的几何体体积分别为，，若，则（）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】令，，，

因为，所以，，

所以，

，

所以，∴，故选D．

10．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在全部等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，如用与x轴相距为，且垂直于y轴的平面，截这个旋转体，则截面图形的面积为______；这个旋转体的体积为______．

【答案】，

【解析】（1）该双曲线的渐近线为，

则直线，与渐近线交于点，，

与双曲线交于点，，

则旋转体的截面应为一个圆环，

其内径，外径，故截面积为，

同理可得，作直线，也可得截面积为．

（2）依据祖暅原理，该旋转体的体积与底面积为，

高为的圆柱的体积相等，故其体积为．

故答案为；．

11．已知正方体的棱长为，点、分别在、上，，．动点在侧面内（包含边界）运动，且满意直线平面，则点在侧面的轨迹的长度为_____________，三棱锥的体积为_________