高中数学函数性质(含解析).docVIP

专题03函数性质（讲）

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则（）

A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）

C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）

2．【2019年高考天津理数】已知，，，则的大小关系为（）

A． B．

C． D．

3．【云南省玉溪市第一中学2019届高三第二次调研考试数学】下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）

A． B．

C． D．

4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知是奇函数，且当时，.若，则__________．

一、考向分析：

函数性质

函数性质

单调性

周期性

奇偶性

最值

对称性

二、考向讲解

考查内容

解题技巧

单调性

1、用单调性求解与抽象函数有关不等式的策略

(1)在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．

(2)有时，在不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式．如若已知f(a)＝0，f(x－b)0，则f(x－b)f(a)．

2、函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

（1）比较大小。比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决。

（2）解不等式。在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解。此时应特别注意函数的定义域。

3、利用单调性求参数的值或取值范围。

(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数。

(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的。

(3)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值。

奇偶性

1、利用奇偶性求值的类型及方法

(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．

(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．

2、判断函数的奇偶性要注意两点

（1）定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提。

（2）判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立。

周期性

1、函数周期性的判定与应用

(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可．

(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

2、根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题。

3、在解决具体问题时，要注意“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用。

最值

求函数最值的五种常用方法及其思路

（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值。

（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值。

（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值。

（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值。

（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值。

对称性

考查单调性：

【例1】【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学】函数的单调减区间为（）

A． B．

C． D．

考查奇偶性：

【例1】【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试（一模）数学】若函数是定义在上的奇函数，，当时，，则实数（）

A． B．0

C．1 D．2

【例2】【山东省滨州市2019届高三第二次模拟（5月）考试数学】若函数为偶函数，则__________．

考查周期性：

【例1】【陕西省西安市2019届高三第三次质量检测数学】若定义在上的函数满足且时，，则方程的根的个数是（）

A． B．

C． D．

考查最值：

【例1】已知a0，设函数f(x)＝eq\f(2018x＋1＋2016,2018x＋1)(x∈[－a，a])的最大值为M，最小值为N，那么M＋N＝()

A．2016 B．2018

C．4032 D．403