2024-2025学年新教材高中数学课时素养评价五第一章空间向量与立体几何1.3.2空间向量运算的坐标表示含解析新人教A版选择性必修第一册.doc

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五空间向量运算的坐标表示

(15分钟30分)

1．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，6，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，5，0))，则a与b()

A．垂直 B．不垂直也不平行

C．平行且同向 D．平行且反向

【解析】选A.由于a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－5，6，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，5，0))，

所以a·b＝－5×6＋6×5＋1×0＝0，所以a⊥b.

2．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，0，1))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，0，－2))，若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ka＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋kb))＝2，则k的值等于()

A．1 B．eq\f(3,5) C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)

【解析】选D.由已知得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(2)，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))＝2eq\r(2)，且a·b＝0，

由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ka＋b))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋kb))＝2得k|a|2＋k|b|2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k2＋1))a·b＝2，即2k＋8k＝2，解得k＝eq\f(1,5).

3．若向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，x，2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－1，2))，且a，b夹角的余弦值为eq\f(8,9)，则x等于()

A．2 B．－2

C．－2或eq\f(2,55) D．2或－eq\f(2,55)

【解析】选C.cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b)))＝eq\f(6－x,3\r(5＋x2))＝eq\f(8,9)，解得x＝－2或x＝eq\f(2,55).

4．已知a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，a⊥b，则x＋y的值是________．

【解析】由于a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，|a|＝6，a⊥b，

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝\r(22＋42＋x2)＝6，,a·b＝4＋4y＋2x＝0，))

解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－3))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝1，))

因此x＋y＝1或－3.

答案：－3或1

5．如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.

(1)求向量eq\o(CD,\s\up6(→))的坐标．

(2)求eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))的夹角的余弦值．

【解析】(1)过D作DE⊥BC于E，

则DE＝CD·sin30°＝eq\f(\r(3),2)，OE＝OB－BDcos60°＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，

所以D点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，

又由于C(0，1，0)，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(3,2)，\f(\r(3),2))).

(2)依题设，A点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)，0))，

所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\b\lc