第十章3第2课时“HL”定理.docx

1．[2024春·金台区期中]如图，已知在△ABO和△DCO中，AB⊥BO,CD⊥CO,AO＝DO，若用“HL”判定Rt△ABO≌Rt△DCO，则需要添加的条件是(A)

第1题图

A．AB＝DC B．∠A＝∠D

C．∠AOB＝∠DOC D．OB＝OD

2．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(B)

第2题图

A．28° B．59° C．60° D．62°

3．如图，要用“HL”判定Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等的条件是(C)

第3题图

A．AC＝A′C′，BC＝B′C′

B．∠A＝∠A′，AB＝A′B′

C．AC＝A′C′，AB＝A′B′

D．∠B＝∠B′，BC＝B′C′

4．[2024春·厦门期中]如图所示，在四边形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AD＝CD，BE＝4，DE＝3，CE＝1，则△ABD的面积是(A)

第4题图

A．4.5 B．6 C．9 D．12

5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，ED⊥AB于点D，BD＝BC，若AC＝6cm，则AE＋DE等于(C)

第5题图

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm

6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(A)

A.eq\f(36,5) B.eq\f(12,25) C.eq\f(9,4) D.eq\f(3\r(3),4)

7．[2022·天津]如图，△OAB的顶点O(0，0)，顶点A，B分别在第一、四象限，且AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是(D)

第7题图

A．(5，4) B．(3，4)

C．(5，3) D．(4，3)

8．[2024秋·新吴区月考]如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD.添加的条件是：AC＝AD(答案不唯一)．(写一个即可)

第8题图

9．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AE＝AC，DE⊥AB交AB于点E，若∠B＝40°，则∠ADE＝65°．

第9题图

10．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D在直线MN上，点B，C在直线PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝7．

第10题图

11．如图，D为Rt△ABC中斜边BC上的一点，且BD＝AB，过D作BC的垂线，交AC于E，若AE＝12cm，则DE的长为12cm.

第11题图

12．如图，AD是△ABC的高，AD＝BD＝8，E是AD上的一点，BE＝AC，AE＝2，BE的延长线交AC于点F，则CD的长为6．

第12题图

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，且DE＝DF.求证：△ABC是等边三角形．

第13题图

证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，

∴∠AED＝∠CFD＝90°，

∵D为AC的中点，

∴AD＝CD，

在Rt△ADE和Rt△CDF中，

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD，,DE＝DF，))

∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，

∴∠A＝∠C，

∴BA＝BC，

∵AB＝AC，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形．

14．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系，并说明你猜想的正确性．

第14题图

解：猜想：BF⊥AE.

理由：∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝∠BCD＝90°.

又∵BC＝AC，BD＝AE，

∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL)．

∴∠CBD＝∠CAE.

又∵∠CAE＋∠E＝90°.

∴∠EBF＋∠E＝90°.

∴∠BFE＝90°，即BF⊥AE.

15．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.

(1)求证：Rt△ADE≌Rt△BEC；

(2)△CDE是直角三角形吗？请说明理由．

第15题图

解：(1)证明：∵∠1＝∠2，

∴ED＝CE，

∵∠A＝∠B＝90°，

在Rt△ADE和Rt△BEC中，

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ED＝CE，,AE＝BC，))

∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL)；

(2)△CDE是直角三角形，理由：

由(1)得Rt△ADE≌Rt△BEC，

∴∠AED＝∠BCE，

∵∠B＝90°，

∴∠BCE＋∠CEB＝90°，

∴∠AED＋∠CEB＝90°，

∴∠DEC＝180°－90°＝9