《 备考指南 数学 》课件_第5章 第7讲.DOCVIP

第五章第7讲

[A级基础达标]

1．(2021年南昌期末)某人遥控一机器人，让机器人从点A出发向正北方向走了2eq\r(3)km到达点B后，向右转105°，然后朝新方向走了xkm后到达点C，结果发现机器人在点A的东北方向，则x为()

A．eq\r(3) B．2eq\r(3)

C．eq\r(2) D．2eq\r(2)

【答案】D

2．(2021年北京顺义期末)一艘船向正北方向航行，速度为每小时20海里，在A处看灯塔S在船的北偏东30°的方向上，行驶2小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75°的方向上．此时船与灯塔的距离为()

A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(6)海里

C．20eq\r(2)海里 D．20eq\r(6)海里

【答案】C

3．(2021年重庆外国语学校期中)一艘故障渔船在A点处正以15海里/小时的速度向正西方向行驶，救援船从位于A点北偏西60°方向相距15eq\r(3)海里的B点出发，需在1小时内(含1小时)接应到故障船，则救援船的速度最小应为()

A．10海里/小时 B．15海里/小时

C．15eq\r(3)海里/小时 D．20海里/小时

【答案】B

4．(2021年清华附中期中)如图，AD是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为20米的监测塔BD，∠C＝90°．若某科研小组在坝底A点测得∠BAD＝30°，坝底至塔顶距离AB＝30米，则大坝的坡角∠DAC的余弦值为()

A．eq\f(1,3) B．eq\f(2\r(2),3)

C．eq\f(\r(7),4) D．eq\f(3,4)

【答案】D

5．(2021年甲卷)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰必威体育精装版高程为8848．86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A′，B′，C′满足∠A′C′B′＝45°，∠A′B′C′＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB′与CC′的差为100，由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A′B′C′的高度差AA′－CC′约为(eq\r(3)≈1．732)()

A．346 B．373

C．446 D．473

【答案】B

6．(2021年镇江期中)(多选)在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，AB＝4，若解此三角形仅有一解，则边BC长度的可能取值为()

A．eq\r(3) B．2eq\r(3)

C．eq\r(13) D．eq\r(17)

【答案】BD【解析】由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，即eq\f(a,\f(\r(3),2))＝eq\f(4,sinC)，所以sinC＝eq\f(2\r(3),a)，当sinC＝eq\f(2\r(3),a)＝1，即a＝2eq\r(3)时，C＝90°，此时三角形唯一，当sinC＝eq\f(2\r(3),a)＜1，即a＞2eq\r(3)时，需满足C＜A＝eq\f(π,3)时三角形唯一，从而有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞2\r(3)，,a＞c＝4，))所以a＞4，综上可得a＞4或a＝2eq\r(3)．故选BD．

7．(2021年佛山顺德一中期中)(多选)如图，要测量河对岸C，D两点间的距离，在河边一侧选定两点A，B，测出AB间的距离为20eq\r(3)m，∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，AB⊥BC，∠ABD＝60°，则()

A．BD＝10(3＋eq\r(3))m B．DC＝10eq\r(2)m

C．DC＝10eq\r(10)m D．BC＝10eq\r(3)m

【答案】AC【解析】因为AB⊥BC，所以∠ABC＝90°，所以在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，AB＝20eq\r(3)，所以AC＝eq\f(AB,cos30°)＝eq\f(20\r(3),\f(\r(3),2))＝40，BC＝40×eq\f(1,2)＝20，在△ABD中，∠DAB＝75°，∠ABD＝60°，∠ADB＝45°，AB＝20eq\r(3)，所以根据正弦定理得eq\f(20\r(3),\f(\r(2),2))＝eq\f(AD,\f(\r(3),2))，解得AD＝30eq\r(2)，因为∠DAB＝75°，∠CAB＝30°，所以∠DAC＝45°，所以在△ACD中，∠DAC＝45°，AD＝30eq\r(2)，AC＝40，根据余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC·cos45°＝1