函数极限表格模板.docVIP

与极限相关部分概念

(一)、函数极限分析定义

(二)、保序性

(三)、夹逼性

(四)、函数极限两个充要条件

(五)、Heine定理

(六)、Cauchy收敛原理

(七)、复合函数极限

(一)(a)、(有限)分析定义:

自变量改变过程

语言

(一)(b)、(有限)分析定义:

自变量改变过程

(有限)否定陈说

(一)(c)、分析定义:

自变量改变过程

极限为

极限为

极限为

,

,

,

,

,

(一)(d)、分析定义:

自变量改变过程

(二)(a)保序性:已知,则

自变量改变过程

条件

保序性结论

,

,

,

,

,

(二)(b)保序性:若.

自变量改变过程

条件

结论

若,

则

若,

则

若,

则

若,

则

若,

则

若,

则

注:当条件中增强为,也不能导出

(三)夹逼性:已知(有限,)

自变量改变

过程

条件

结论

若

则

若

则

若

则

若

则

若

则

若

则

注:不可为

(四)函数极限两个充要条件

自变量改变过程

能够是有限数,或

(五)(a)Heine定理:以下可取有限,

自变量改变过程

函数极限形式

数列极限形式

(五)(b)Heine定理:

自变量改变过程

函数极限形式

数列极限形式

1

存在有限

收敛.

2

存在有限

收敛.

3

存在有限

收敛.

4

存在有限

收敛.

5

存在有限

收敛.

6

存在有限

收敛.

(五)(c)(有限)数列描述形式

自变量改变过程

等价数列形式

1

2

3

4

5

6

(五)(d)数列描述形式

自变量改变过程

1

2

3

4

5

6

(六)(a)存在Cauchy收敛原理

自变量

存在

Cauchy收敛原理描述形式

1

存在

2

存在

3

存在

4

存在

5

存在

6

存在

(六)(b)存在Cauchy收敛原理否定形式

自变量

不存在

Cauchy收敛原理否定形式

1

不存在

2

不存在

3

不存在

4

不存在

5

不存在

6

存在

(六)(c)存在Cauchy收敛原理否定形式

自变量

不存在

Cauchy收敛原理否定形式数列形式

1

不存在

2

不存在

3

不存在

4

不存在

5

不存在

6

不存在

(七)(a)复合函数求极限法则:结论1

自变量

条件

结论

1

(有限),在

连续

2

(有限),在

连续

3

(有限),在

连续

4

(有限),在

连续

5

(有限),在

连续

6

(有限),在

连续

以3为例加以证实:因为在连续,故

(1)

又因为(有限),对于如上

(2)

由(1)与(2)得:

即证毕.

(七)(b)复合函数求极限法则:结论2

自变量

条件

结论

1

(),

(有限,)

2

(),

(有限,)

3

(),

(有限,)

4

(),

(有限,)

5

(),

(有限,)

6

(),

(有限,)

以3()中有限为例加以证实:

因为(有限),故

(1)

又因为对(1)中

(2)

由(1)与(2)有:

所以证毕.

(七)(c)复合函数求极限法则:结论3

自变量

条件

结论

1

(有限),当初,

,(有限,)

2

(有限),当初,

,(有限,)

3

(有限),当初,

,(有限,)

以1(即)中为例证实:

因为

(1)

又因为(有限),对于如上

结合当初,,上式即:(2)

于是由(1)与(2)得:

所以证毕.

(七)(d)复合函数求极限法则:结论4

自变量

条件

结论

1

(有限),,

(有限,)

2

(有限),,(有限,)

3

(有限),,

(有限,)

以1(即)中为例证实:

因为

(1)

又因为(有限),对于如上

结合,上式即:(2)

由(1)(2)可得:

所以证毕.