人教版高中数学《导数》全部教案(一).pdfVIP

导教的背景(5月4日)

教学目标理解函数的增量与自变量的增量的比的极限的详细意义

教学重瞬时速度、切线的斜率、边际成本

教学难极限思想

教学过程

一、导入新课

1.瞬时速度

问题1：一个小球自由下落，它在下落3秒时的速度是多少？

析：大家知道，自由落体的运动公式是5=38产(其中g是重力加速度).

当时间增量△艮个时，从3秒到(3+4)秒这段时间内，小球下落的快慢

变更不大.因此，可以用这段时间内的平均速度近似地反映小球在下落3秒时

的速度.

从3秒到(3+Ar)秒这段时间内位移的增量：

222

氐=5(3+Ar)-5(3)=4.9(3+Ar)-4.9x3=29.4Ar+4.9(Ar)

从而，v=—=29.4+4.9Ar.

Az

从上式可以看出，越小，包越接近29.4米/秒；当4无限趋近于0时，—

ArAr

无限趋近于29.4米/秒.此时我们说，当趋向于0时，色的极限是29.4.

Ar

当4趋向于0时，平均速度a的极限就是小球下降3秒时的速度，也叫做

△t

瞬时速度.

一般地，设物体的运动规律是s=s(t),则物体在t到(t+加)这段时间

内的平均速度为a二巾+〜).、⑺.假如加无限趋近于o时，a无限趋近于

AzArAz

某个常数a,就说当Af趋向于0时，色的极限为a,这时a就是物体在时刻t

Ar

的瞬时速度.

2.切线的斜率

问题2：P(1,1)是曲线y=/上的一，Q是曲线上p旁边的一个，当

Q沿曲线渐渐向P趋近时割线PQ的斜率的变更状况.

析：设Q的横坐标为1+Ar，则Q的纵坐标为(1+Ax)2,Q对于p

22

的纵坐标的增量(即函数的增量)Ay=(14-2Lv)-1=2AA-+(21r),

所以，割线PQ的斜率稼Q=包=2—+(©I=2+与.

AxAY

由此可知，当Q沿曲线渐渐向P接近时，©变得越来越小，越来

越接近2；当Q无限接近于P时，即心无限趋近于()时，攵段无限趋近于

2.这表明，割线PQ无限趋近于过P且斜率为2的直线.我们把这条直线叫

做曲线在P处的切线.由斜式，这条切线的方程为：y=2x-\.

一般地，已知函数y=/(x)的图象是曲线C,P(x,y),Q(x+Ax,y+Ay)

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