向量的正交规范化.pptVIP

*一、内积的定义与性质*定义设ｎ维实向量称实数为向量α与β的内积，记作注：内积是向量的一种运算，用矩阵形式表示，有32145（1）对称性：*时当且仅当正定性：线性性：性质DCBAE二、向量的长度与夹角*长度为１的向量称为单位向量.长度的概念令为ｎ维向量α的长度（模或范数）.特别030405060102（1）正定性：*齐次性：01三角不等式：02性质03柯西－施瓦兹（Cauchy－Schwarz）不等式:当且仅当α与β的线性相关时，等号成立.04称为把α单位化或规范化.*注当时，由非零向量α得到单位向量是α的单位向量.的过程夹角01因此α与β的夹角为01角的余弦为设α与β为ｎ维空间的两个非零向量，α与β的夹01例解练习三、正交向量组*1、正交当，称α与β正交.注①若，则α与任何向量都正交.②③对于非零向量α与β，1正交组2若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则3这个向量组称为正交向量组，简称正交组.4规范正交组由单位向量组成的正交组称为规范正交组.4、性质*定理正交向量组必为线性无关组.5、正交基*若正交向量组01则称02为向量空间Ｖ上的一个正交基.03为向量空间Ｖ上的一个基，04规范正交基05若规范正交组06则称07为向量空间Ｖ上的一个规范正交基.08为向量空间Ｖ上的一个基，097、施密特（Schmidt）正交化法*设位向量，使与等价，01这组基规范正交化.是向量空间Ｖ的一个基，要求向量空02间Ｖ的一个规范正交基，就是要找到一组两两正交的单此问题称为把两两正交，且与*等价.令1）正交化则2）规范化*就得到Ｖ的一个规范正交向量组.Ｖ的一组规范正交基.如果上述方法称为施密特（Schmidt）正交化法.令是Ｖ的一组基，则就是注上述方法中的两个向量组对任意的与都是等价的.四、应用举例*例1证明：中，勾股定理成立的充要条件是正交.解所以成立的充要条件是即正交.是三维向量空间的一个正交基.*已知三维向量空间中，例2正交，试求解设则即已知向量*例3求的一个标准正交基.解设非零向量都于正交，即满足方程或其基础解系为令01正交化02令03*