2024_2025学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.2导数的概念学案新人教A版选修2_2.docVIP

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变更率问题导数的概念

导思

1.什么是平均变更率，什么是瞬时变更率？

2．如何求函数在某点的导数？

1.函数y＝f(x)从x1到x2的平均变更率

定义式

实质

函数值的变更量与自变量的变更量之比

意义

刻画函数在[x1，x2]上函数值变更的快慢

(1)Δx＝x2－x1是正数吗？

提示：Δx＝x2－x1可能是正数，也可能是负数，但不能为0.

(2)平均变更率的几何意义是什么？

提示：平均变更率的几何意义是函数y＝f(x)图象上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)所在直线的斜率．

2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率

定义式

实质

瞬时变更率是当自变量的变更量Δx趋近于0时，平均变更率趋近的值

作用

刻画函数在某点处变更的快慢

Δx趋近于0是什么意思？

提示：Δx趋近于0的距离要多近有多近，即|Δx－0|可以小于给定的随意小的正数，但始终Δx≠0.

3．导数的概念

(1)

定义式

f′(x0)＝

记法

f′(x0)或

(2)本质：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率．

(3)作用：求函数在x＝x0处的导数．

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数肯定存在吗？

提示：当Δx≠0时，比值eq\f(Δy,Δx)的极限存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处可导；若比值eq\f(Δy,Δx)的极限不存在，则函数y＝f(x)在x＝x0处不行导或无导数．

(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义表达式是唯一的吗？

提示：不唯一．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的定义表达式可变形为f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f（x0－Δx）－f（x0）,－Δx)，或者f′(x0)＝．

1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)

(1)在平均变更率的定义中，自变量x在x0处的变更量Δx可取随意实数．(×)

提示：在平均变更率的定义中，自变量x在x0处的变更量Δx可以是正数，也可以是负数，但不能为0.

(2)函数y＝f(x)从x1到x2的平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)公式中Δx与Δy同号．(×)

提示：函数y＝f(x)从x1到x2的平均变更率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)公式中Δx与Δy可能同号，也可能异号．

(3)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率．(√)

提示：依据导数的定义可知，函数y＝f(x)在x＝x0处的导数就是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变更率．

2．某物体的位移公式为s＝s(t)，从t0到t0＋Δt这段时间内下列理解正确的是

()

A．(t0＋Δt)－t0称为函数值增量

B.t0称为函数值增量

C.Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)称为函数值增量

D.eq\f(Δs,Δt)称为函数值增量

【解析】选C.由自变量的变更量、函数值的变更量、平均变更率的概念易得C正确．

3．(教材习题改编)函数feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))＝－x2＋x在x＝－1处的瞬时变更率为________．

【解析】eq\f(Δy,Δx)＝＝3－Δx.

f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1))＝.

答案：3

类型一求函数的平均变更率(数学运算)

1．函数f(x)＝x2－1在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，m))上的平均变更率为3，则实数m的值为()

A．3 B．2 C．1 D．4

【解析】选B.由已知得eq\f(m2－1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12－1)),m－1)＝3，

所以m＋1＝3，所以m＝2.

2．某物体的运动方程为s＝5－2t2，则该物体在时间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，1＋d))上的平均速度为

()

A．2d＋4 B．－2d＋4 C．2d－4 D．－2d－4

【解析】选D.由平均变更率的定义可知，该物体在时间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，1＋d))上的平均速度为eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(5－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋d))2))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－2×12)),d)＝－2d－4.

3．物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的