2024-2025学年新教材高中数学第二章圆锥曲线2.1.2椭圆的简单几何性质课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册.doc

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课后素养落实(十二)椭圆的简洁几何性质

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．椭圆x2＋4y2＝1的焦距为()

A．eq\f(\r(3),2)B．eq\r(3)C．2eq\r(3)D．2eq\r(5)

B[先将x2＋4y2＝1化为标准方程eq\f(x2,1)＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1，则a＝1，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(3),2)．故焦距为2c＝eq\r(3)．]

2．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()

A．5，3，0.8 B．10，6，0.8

C．5，3，0.6 D．10，6，0.6

B[椭圆方程可化为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,25)＝1，则a＝5，b＝3，c＝eq\r(25－9)＝4，e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)，故选B．]

3．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为()

A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．eq\f(\r(2),2)D．eq\f(2\r(2),3)

C[不妨设a0，由于椭圆C的一个焦点为(2，0)，所以c＝2，所以a2＝4＋4＝8，所以a＝2eq\r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)．]

4．方程eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1表示的曲线是()

A．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为eq\f(3,5)的椭圆

B．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为eq\f(3,5)的椭圆

C．焦点为点(－3，0)与(3，0)，离心率为eq\f(4,5)的椭圆

D．焦点为点(0，－3)与(0，3)，离心率为eq\f(4,5)的椭圆

B[由方程可知，它表示焦点在y轴上的椭圆，且a＝5，b＝4，∴c＝3，所以方程表示的椭圆的焦点为F1(0，－3)，F2(0，3)，离心率为eq\f(3,5)的椭圆．]

5．已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左、右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|的最小值是()

A．0B．1C．2D．2eq\r(2)

C[设P(x0，y0)，则eq\o(PF1,\s\up7(→))＝(－1－x0，－y0)，eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(1－x0，－y0)，

∴eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))＝(－2x0，－2y0)，

∴|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|＝eq\r(4x\o\al(2,0)＋4y\o\al(2,0))＝2eq\r(2－2y\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝2eq\r(－y\o\al(2,0)＋2)．

∵点P在椭圆上，∴0≤yeq\o\al(2,0)≤1，

∴当yeq\o\al(2,0)＝1时，|eq\o(PF1,\s\up7(→))＋eq\o(PF2,\s\up7(→))|取最小值2．故选C．]

二、填空题

6．已知点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，则m的取值范围是________．

[－eq\r(3)，eq\r(3)][由于点(m，n)在椭圆8x2＋3y2＝24上，即在椭圆eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,8)＝1上，

所以点(m，n)满足椭圆的范围|x|≤eq\r(3)，|y|≤2eq\r(2)，

因此|m|≤eq\r(3)，即－eq\r(3)≤m≤eq\r(3)．]

7．已知椭圆的对称轴是坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA＝eq\f(2,3)，则椭圆的标准方程是________．

eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1[由于椭圆的长轴长是6，cos∠OFA＝eq\f(2,3)，所以点A不是长轴的端点(是短轴的端点)．

所以|OF|＝c，|AF|＝a＝3，

所以eq\f(c,3)＝eq\f(2,3)，所以c＝2，b2＝32－22＝5，

所以椭圆的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1或eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,9)＝1．]

8．已知椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方．若线段PF的中点在以原点O为圆心，|