2024年高考数学一轮复习考点规范练43空间向量及其运算含解析新人教A版.docxVIP

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考点规范练43空间向量及其运算

基础巩固

1.若向量c垂直于不共线的向量a和b,d=λa+μb(λ,μ∈R,且λμ≠0),则()

A.c∥d B.c⊥d

C.c不平行于d,c也不垂直于d D.以上三种状况均有可能

答案:B

解析:由题意,得c垂直于由a,b确定的平面.∵d=λa+μb,

∴d与a,b共面.∴c⊥d.

2.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是()

A.2,12 B.-13,12 C.

答案:A

解析:∵a∥b,∴存在k∈R,使b=ka,即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),则6=

解得λ

3.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为()

A.-2 B.-143 C.145

答案:D

解析:由题意知a·(a-λb)=0,

即a2-λa·b=0,∴14-7λ=0.∴λ=2.

4.已知A,B,C,D是空间不共面的四点,且满意AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,M为BC

A.钝角三角形 B.锐角三角形

C.直角三角形 D.不确定

答案:C

解析:∵M为BC的中点,∴AM=

∴AM·AD=1

∴AM⊥AD,△AMD为直角三角形.

5.下列说法:

①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;

②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b肯定不共面;

③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;

④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的随意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.

其中正确的个数是()

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:A

解析:若a与b共线,则a,b所在直线也可能重合,故①不正确;依据自由向量的定义知,空间任两个向量a,b都共面,故②不正确;三个向量a,b,c中任两个肯定共面,但它们三个却不肯定共面,故③不正确;只有当a,b,c不共面时,空间随意一向量p才能表示为p=xa+yb+zc,故④不正确,综上可知,正确说法的个数为0,故选A.

6.在空间四边形ABCD中,则AB·CD+

A.-1 B.0 C.1 D.2

答案:B

解析:(方法一)如图,

令AB=a,AC=b,AD=c,

则AB·CD+AC·DB+AD·BC=AB·(AD-AC)+AC·(AB-AD)+AD·(AC-AB)=a·(c-b)+b·(a-c

(方法二)在三棱锥A-BCD中,不妨令其各棱长都相等,由正四面体的对棱相互垂直可知,AB·CD=0,AC·DB=0,

故AB·CD+

7.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量与a的夹角为60°的是()

A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1)

答案:B

解析:对于选项B,设b=(1,-1,0),

则cosa,b=a

因为0°≤a,b≤180°,

所以a,b=60°,故选B.

8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=(1,2,0),AD=(2,1,0),CC1=(0,1,5),则对角线AC1的边长为(

A.42 B.43 C.52 D.12

答案:C

解析:AC1=AA1+A

所以|AC1|=32

9.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),则PA与底面ABCD的关系是()

A.相交 B.垂直 C.不垂直 D.成60°角

答案:B

解析:因为AB·AP=2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)

所以AB

因为AD·AP=4×(-1)+2×2+0×(-1)

所以AD

又AB∩AD=A,所以AP⊥底面ABCD.

10.已知O(0,0,0),A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在直线OP上运动.当QA·QB最小时,点Q的坐标是

答案:4

解析:设OQ=λOP=(λ,λ,2λ),则QA=(1-λ,2-λ,3-2λ),QB=(2-λ,1-λ,2-2λ)

故QA·QB=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=

所以当λ=43时,QA·QB取得最小值-

所以点Q的坐标是4

11.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,G为△BC1D的重心,求证:

(1)A1,G,C三点共线;

(2)A1C⊥平面BC1D.

答案:证明(1)CA

可以证明CG=13(CB+CD+CC1)=1

(2)设CB=a,CD=b,CC1=

则|a|=|b|=|c|=a,

且a·b=b·c=c·a=0,

∵CA1=a+b+c,B

∴CA1·BC1=(a+b+c)·(c-a)

因此CA1⊥BC