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一元多项式计算程序报告

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一元多项式计算程序报告

摘要：本文旨在设计并实现一个一元多项式计算程序，通过研究一元多项式的定义、运算规则以及算法实现，开发一个能够进行一元多项式加法、减法、乘法、除法以及求值等操作的程序。程序采用面向对象的设计方法，将一元多项式表示为多项式对象，并通过继承和组合的方式实现各种运算。本文详细介绍了程序的设计思路、实现过程以及测试结果，并对程序的性能进行了分析和评估。

随着计算机技术的不断发展，计算机在各个领域的应用越来越广泛。数学作为计算机科学的基础，其算法和理论在计算机程序设计中占有重要地位。一元多项式作为数学中的基本概念，在计算机科学中有着广泛的应用，如数值计算、图像处理、信号处理等领域。因此，研究一元多项式的计算方法具有重要的理论意义和实际应用价值。本文通过对一元多项式计算程序的研究，旨在为相关领域提供一种高效、实用的计算工具。

一元多项式概述

一元多项式的定义

一元多项式是数学中多项式的一种特殊形式，它由有限个项组成，每个项都是一元变量（通常是字母x）的非负整数次幂与一个系数的乘积。在数学表达式中，一元多项式的标准形式可以表示为\(a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_1x+a_0\)，其中\(a_n,a_{n-1},\ldots,a_1,a_0\)是系数，而\(n\)是最高次幂。例如，多项式\(3x^4+2x^3-5x^2+7x-9\)是一个四次一元多项式。

一元多项式的系数和次数对其性质有着重要影响。系数决定了多项式的值，而次数则表示了多项式增长的速度。在一元多项式中，次数最高的项称为首项，其系数称为首项系数。例如，在多项式\(5x^5-3x^2+4\)中，首项系数为5，次数为5。一元多项式的次数通常决定了多项式的图形特征，如开口方向和顶点位置。当首项系数为正时，多项式的图形向上开口，反之则向下开口。

一元多项式在实际应用中有着广泛的应用。例如，在物理学中，一元多项式可以用来描述物体的运动轨迹；在工程学中，一元多项式可以用于优化设计；在经济学中，一元多项式可以用于预测市场趋势。以二次多项式为例，其在物理学中的应用可以体现在抛体运动的轨迹计算中。当物体以初速度\(v_0\)抛出时，其运动轨迹可以表示为\(y=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\)，其中\(y\)是物体在时间\(t\)时的垂直位置，\(g\)是重力加速度。通过求解二次多项式的根，我们可以得到物体落地的时间。这样的应用案例展示了在一元多项式理论的基础上，如何将其应用于实际问题解决中。

一元多项式的性质

(1)一元多项式在数学中具有许多重要的性质，其中之一是其可加性。这意味着两个一元多项式相加时，它们的项可以按照相同次幂的项进行合并。例如，考虑两个多项式\(f(x)=3x^2+2x+1\)和\(g(x)=4x^3-5x^2+6x-7\)，它们的和\(f(x)+g(x)\)将是\(4x^3+(3x^2-5x^2)+(2x+6x)+(1-7)=4x^3-2x^2+8x-6\)。这种性质使得多项式的加法运算变得简单而直观。

(2)另一个显著性质是多项式的可乘性。两个一元多项式相乘时，结果是一个次数为两个多项式次数之和的新多项式。例如，如果\(f(x)=x^2+2x+1\)和\(g(x)=x^3-4x+3\)，它们的乘积\(f(x)\cdotg(x)\)将是一个六次多项式。具体来说，\(f(x)\cdotg(x)=x^5-2x^4+3x^3+2x^4-4x^2+6x+x^3-4x^2+3\)，简化后得到\(x^5+x^3-2x^4-8x^2+6x+3\)。这一性质在一元多项式的乘法运算中至关重要。

(3)一元多项式的另一个关键性质是其可除性。一个多项式可以被另一个多项式整除，如果存在一个商多项式和一个余数多项式，使得被除多项式等于除多项式乘以商多项式再加上余数多项式。例如，考虑多项式\(h(x)=x^4-3x^3+2x^2-x+1\)和\(k(x)=x-1\)，通过多项式长除法可以得到\(h(x)=(x-1)(x^3+x^2+x-1)+2\)。这里，\(x^3+x^2+x-1\)是商多项式，2