一阶常微分方程解法总结.docx

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结

⑴、可分离变量的方程：

dy

①、形如

?f(x)g(y)

dx

当g(y)?0时，得到

dy?

g(y)

f(x)dx，两边积分即可得到结果；

当g(?0)?0时，则y(x)??0也是方程的解。

dy

例1.1、

dx

?xy

2dy??x

2

解：当y?0时，有

y

xdx，两边积分得到lny? ?C

2

(C为常数)

x2

所以y?Ce2 (C为非零常数且C

??eC)

1 1 1

y?0显然是原方程的解；

x2

综上所述，原方程的解为y?C1e2

(C1为常数)

②、形如M(x)N(y)dx?P(x)Q(y)dy?0

当P(x)N(y)?0时，可有M(x)dx?Q(y)dy，两边积分可得结果；

P(x) N(y)

当N(y0)?0时，y?y0为原方程的解，当P(x0）?0时，x?x0为原方程的解。例1.2、x(y2?1)dx?y(x2?1)dy?0

解：当(x2?1)(y2?1)?0时，有

y

1?y2

dy?

x

x2?1

dx两边积分得到

lnx2?1?lny2?1?lnC

(C?0)，所以有(x2?1)(y2?1)?C

(C?0)；

当(x2?1)(y2?1)?0时，也是原方程的解；

综上所述，原方程的解为(x2?1)(y2?1)?C

(C为常数)。

⑵可化为变量可分离方程的方程：

dy

①、形如

dx

解法：令u?

?g(y)

x

? ?y

? ?

，则dy xdu udx，代入得到x

x dx

u?g(u)为变量可分离方程，得到

f(u,x,C)?0

dy

(C为常数)再把u代入得到f(y,x,C)?0

x

(C为常数)。

②、形如

dx

?G(ax?by),(ab?0)

adx?du

1du a

解法：令u?ax?by，则dy?

，代入得到

b

?

bdx b

?G(u)为变量可分离方程，

得到f(u,x,C)?0

(C为常数)再把u代入得到f(ax?by,x,C)?0

(C为常数)。

③、形如dy?

dx

f(a1x?b1y?c1)

a2x?b2y?c2

解法：10、a1

a2

b1?0，转化为dy?G(ax?by)，下同①；

b2 dx

20、a1

b1?0，?a1x?b1y?c1?0的解为(x,y

)，令?u?x?x0

?2 2 2

?2 2 2

0 0

?ax?by?c?0

?v?y?y0

?a?bv

?

得到，dv?

du

f(a1u?b1v)?f(1

au?bv

1u)?

v

v

g()，下同②；

u

2 2 a2?b2u

还有几类：yf(xy)dx?xg(xy)dy?0,u?xy

x2dy?

f(xy),v?xy

dy?xf(y),w?y

dx dx x2 x2

M(x,y)(xdx?ydy)?N(x,y)(xdy?ydx)?0,x?rcos?,y?rsin?

以上都可以化为变量可分离方程。

例2.1、dy?x?y?5

dx x?y?2

解：令u?x?y?2，则dy?dx?du，代入得到1?du?u?7，有udu??7dx

2所以u??7x?C

2

2

dx

（x?y?2）2

(C为常数)，把u代入得到

2

u

7x?C

(C为常数)。

例2.2、dy?2x?y?1

dx x?2y?1

?2x?y?1?0

?x??1

?u?x?1

?dy?dv

1?

1

解：由 得到

3，令?

3，有 ，代入得到

??1?x?2y?1?0

?

?

1

?

?y?

? 3

?

?v?y?

? 3

?dx?du

dv?2u?v?

2?v

u

，令t?v，有d