2024_2025学年新教材高中数学第10章三角恒等变换3几个三角恒等式学案苏教版必修第二册.docVIP

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几个三角恒等式

1．半角公式

2．积化和差、和差化积公式

(1)积化和差公式

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；

sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]；

sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；

cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．

(2)和差化积公式

sinx＋siny＝2sincos；

sinx－siny＝2cossin；

cosx＋cosy＝2coscos；

cosx－cosy＝－2sinsin．

1．cos75°－cos15°的值为()

A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(,2),3)D．－eq\f(\r(,2),2)

【解析】选D.原式＝－2sin45°·sin30°＝－eq\f(\r(,2),2).

2．函数f(x)＝cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，x∈R，则f(x)()

A．是奇函数

B．是偶函数

C．既是奇函数，也是偶函数

D．既不是奇函数，也不是偶函数

【解析】选D.原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))))＝eq\f(1,2)(1－sin2x)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)sin2x，此函数既不是奇函数也不是偶函数．

3．已知sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，则sin2α的值为()

A．eq\f(7,16)B．－eq\f(7,16)C．－eq\f(9,16)D．eq\f(9,16)

【解析】选C.因为sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝

1－sin2α＝eq\f(25,16)，所以sin2α＝－eq\f(9,16).

4．函数y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x的最小正周期为________．

【解析】因为y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)

＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，

所以函数的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.

答案：π

5．设α∈(π，2π)，则eq\r(\f(1＋cos（π＋α）,2))等于________．

【解析】eq\r(\f(1＋cos（π＋α）,2))＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\r(sin2\f(α,2))

＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))).因为α∈(π，2π)，所以eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，

所以sineq\f(α,2)0，故原式＝sineq\f(α,2).

答案：sineq\f(α,2)

6．求证：eq\f(1＋sin4θ－cos4θ,2tanθ)＝eq\f(1＋sin4θ＋cos4θ,1－tan2θ).

【证明】原式可变形为1＋sin4θ－cos4θ＝tan2θ(1＋sin4θ＋cos4θ)，①，

①式右边＝eq\f(sin2θ,cos2θ)(1＋2cos22θ－1＋2sin2θcos2θ)

＝eq\f(sin2θ,cos2θ)(2cos22θ＋2sin2θcos2θ)＝2sin2θ(cos2θ＋sin2θ)＝2sin2θcos2θ＋2sin22θ＝sin4θ＋1－cos4θ＝左边．所以①式成立，即原式得证．

一、单选题

1．已知cosθ＝－eq\f(1,4)(－180°θ－90°)，则coseq\f(θ,2)＝()

A．－eq\f(\r(6),4)B．eq\f(\r(6),4)C．－eq\f(3,8)D．eq\f(3,8)

【解析】选B.因为－180°θ－90°，所以－90°eq\f(θ,2)－