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第四章一元函数积分学导学

一、学习要求

1、理解原函数与不定积分概念，弄清两者之间的关系。会求当曲线的切线斜率已知时，满足一

定条件的曲线方程。知道不定积分与导数（微分）之间的关系。

dd

(f(x)dx)f(x)(f(x)dx)f(x)

dxdx

了解定积分的定义设f(x)在[a,b]上连续，存在F（x）使得F‘（x）=f(x)，则

bf(x)dxF(x)F(b)F(a)|b

aa

2、熟记积分基本公式，熟练掌握不定积分的直接积分法。了解不定积分和定积分的性质，尤其

是：

bf(x)dxf(x)dxa

ab

bcb

f(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac

3、熟练掌握第一换元积分法（凑微分法）

注意：不定积分换元，要还原回原变量的函数；定积分换元，一定要换上、下限，直接计算其

值。

4、熟练掌握分部积分法。分部积分公式为：

uvdxuvvudx或udvuvvdu

b|bbb|bb

uvdxuvvudx或udvuvvdu

aaaaaa

会求被积函数是以下类型的不定积分和定积分（1）幂函数与指数函数相乘。

（2）幂函数与对数函数相乘。

（3）幂函数与正（余）弦函数相乘。

5、知道无穷限积分的收敛性，会求无穷限积分。

6、知道变上限定积分概念，知道是f(x)的原函数，即

(x)f(t)dt是f(x)x

a

7、记住奇偶函数在对称区间上的定积分性质，即

（1）若f(x)是奇函数，则有

af(x)dx0

a

1/11

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（2）若f(x)是偶函数，则有

aa0

f(x)dx2f(x)dx2f(x)dx

a0a

本章重点

不定积分、原函数概念，积分的计算

二、学习方法看例子、尝试做、不懂就问

三、学习内容（一）、原函数概念

定义一：设f(x)是定义在区间D上的函数，若存在函数F(x)对任何x∈D,都有

F(x)’=f(x)(或df(x)=f(x)dx)

则称F(x)为f(x)在区间D上的原函数(简称为f(x)的原函数)

如:已知函数f(x)=sinx

函数F(x)=-cosx和F(x)=-cosx+2都是f(x)=sinx的原函数。

12

∵(C’)=0,∴F(x)=-cosx+C都是f(x)=sinx的原函数

注：一个函数的原函数若存在，则有无数个。

定理1，

若F(x)是f(x)在某区间上的原