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专升本试卷试题及答案

一、选择题（每题4分，共20分）

1.函数$y=\frac{1}{\ln(x1)}$的定义域是（）

A.$(1,+\infty)$

B.$(1,2)\cup(2,+\infty)$

C.$[1,+\infty)$

D.$[1,2)\cup(2,+\infty)$

答案：B

解析：要使函数有意义，则分母不为零且对数中的真数大于零。即$\ln(x1)\neq0$且$x10$。由$\ln(x1)\neq0$得$x1\neq1$，即$x\neq2$；由$x10$得$x1$。所以定义域为$(1,2)\cup(2,+\infty)$。

2.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}$的值为（）

A.0

B.1

C.3

D.$\frac{1}{3}$

答案：C

解析：根据重要极限$\lim\limits_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1$，令$u=3x$，当$x\to0$时，$u\to0$，则$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim\limits_{x\to0}\frac{\sin3x}{3x}\cdot3=1\times3=3$。

3.设函数$y=x^3+3x^21$，则$y$等于（）

A.$3x^2+6x$

B.$3x^2+3x$

C.$x^3+6x$

D.$x^3+3x$

答案：A

解析：根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n1}$，对$y=x^3+3x^21$求导，$y^\prime=(x^3)^\prime+(3x^2)^\prime(1)^\prime=3x^2+3\times2x0=3x^2+6x$。

4.不定积分$\intxe^{x^2}dx$等于（）

A.$\frac{1}{2}e^{x^2}+C$

B.$e^{x^2}+C$

C.$2e^{x^2}+C$

D.$\frac{1}{2}e^{x^2}$

答案：A

解析：令$u=x^2$，则$du=2xdx$，$xdx=\frac{1}{2}du$。所以$\intxe^{x^2}dx=\frac{1}{2}\inte^udu=\frac{1}{2}e^u+C=\frac{1}{2}e^{x^2}+C$。

5.微分方程$y^\prime=2x$的通解是（）

A.$y=x^2+C$

B.$y=2x^2+C$

C.$y=\frac{1}{2}x^2+C$

D.$y=x^2$

答案：A

解析：对$y^\prime=2x$两边积分，$\inty^\primedx=\int2xdx$，根据积分公式可得$y=x^2+C$，其中$C$为任意常数，这就是该微分方程的通解。

二、填空题（每题4分，共20分）

1.已知函数$f(x)=\begin{cases}x+1,x\leq0\\x^2,x0\end{cases}$，则$f(1)=$______。

答案：0

解析：因为$1\leq0$，所以将$x=1$代入$f(x)=x+1$中，得$f(1)=1+1=0$。

2.曲线$y=x^2$在点$(1,1)$处的切线斜率为______。

答案：2

解析：先对$y=x^2$求导，$y^\prime=2x$。曲线在某点处的切线斜率就是该点处的导数值，将$x=1$代入$y^\prime$中，得切线斜率为$y^\prime|_{x=1}=2\times1=2$。

3.定积分$\int_{0}^{1}(2x+1)dx=$______。

答案：2

解析：根据定积分的运算性质$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$，则$\int_{0}^{1}(2x+1)dx=\int_{0}^{1}2xdx+\int_{0}^{1}1dx$。由积分公式$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$（$n\neq