2024_2025年新教材高中数学第五章三角函数2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念学案新人教A版必修第一册.docxVIP

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三角函数的概念

[课程目标]1.借助单位圆理解随意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义；2.驾驭随意角的三角函数(正弦、余弦、正切)值在各象限的符号，会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切；3.驾驭公式一并会应用．

学问点一随意角的三角函数的定义

前提

如图所示，设α是一个随意角，α∈R，它的始边为射线OA，终边OP与单位圆交于点P(x，y)

定义

正弦

函数

__把点P的纵坐标y__叫做α的正弦函数，记作sinα，即__y__＝sinα

余弦

函数

__把点P的横坐标x__叫做α的余弦函数，记作cosα，即__x__＝cosα

正切

函数

__单位圆上点P的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数__叫做α的正切函数，记作tanα，即__eq\f(y,x)(x≠0)__＝tanα

三角

函数

正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

正弦函数：y＝sinx，x∈R；

余弦函数：y＝cosx，x∈R；

正切函数：y＝tanx，x≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)

[研读](1)在随意角的三角函数的定义中，应当明确：α是一个随意角，其范围是使函数有意义的实数集；sinα是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．

(2)若点P(x，y)是角α终边上的一点，则sinα＝__eq\f(y,\r(x2＋y2))__，cosα＝__eq\f(x,\r(x2＋y2))__，tanα＝__eq\f(y,x)(x≠0)__.

eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)sinα的含义是角α终边上的点的纵坐标．(×)

(2)tanα的含义是角α终边上的点的纵坐标与横坐标的比值．(√)

(3)角α是确定的，则cosα也是确定的．(√)

(4)任给一个角都有三角函数值．(×)

【解析】(1)sinα的含义是角α终边与单位圆的交点的纵坐标．

(4)不是全部的角都有三角函数值，如eq\f(π,2)的正切值不存在．

学问点二三角函数值的符号

如图所示：

正弦函数：一、二象限正，三、四象限负；

余弦函数：一、四象限正，二、三象限负；

正切函数：一、三象限正，二、四象限负．

简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

[研读]三角函数值的符号的记忆，把握两点：一是三角函数的定义；二是角的终边上一点的坐标的符号．

eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)推断三角函数值的符号只需确定角的终边所处的位置．(√)

(2)角的终边不在任何象限时，三角函数值的符号要用三角函数定义推断．(√)

(3)若θ是三角形的一个内角，则cosθ0.(×)

(4)sin(－210°)0.(×)

【解析】(3)若θ为直角或钝角，则cosθ≤0.

(4)－210°角是其次象限角，所以sin(－210°)0.

学问点三公式一

即终边相同的角的同一三角函数的值__相等__．

[研读](1)利用公式一，可以把求随意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值．(2)上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z).

eq\a\vs4\al(【思辨】)推断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)两个角的终边相同，则其同名三角函数值也相同.(√)

(2)公式一的主要作用是将“大角”的三角函数值化为“小角”的同名三角函数值．(√)

(3)sin(－335°)＝sin25°.(√)

(4)tan1200°＝tan120°.(√)

【解析】(3)sin(－335°)＝sin(－360°＋25°)＝sin25°.

(4)tan1200°＝tan(3×360°＋120°)＝tan120°.

eq\o(\s\up7(),\s\do5(求随意角的三角函数值))

eq\a\vs4\al(例1)若点P(2m，－3m)(m0)在角α的终边上，则sinα＝__eq\f(3\r(13),13)__，cosα＝__－eq\f(2\r(13),13)__，tanα＝__－eq\f(3,2)__．

【解析】

如图所示，点P(2m，－3m)(m0)在其次象限，过点P作x轴的垂线，设点P与原点的距离为r，则r＝－eq\r(13)m