《线性代数之美：矩阵分析》课件.pptVIP

线性代数之美：矩阵分析

课程概述课程目标掌握矩阵分析核心理论学习路径从基础到高级应用的系统学习应用领域

第一部分：线性代数基础1向量空间空间结构和属性2线性变换空间映射的数学描述3矩阵运算

向量空间定义满足加法与数乘封闭性的集合性质满足八条公理的代数结构子空间

线性相关性与线性无关性线性相关性向量组中至少一个向量可表示为其他向量的线性组合线性无关性仅当所有系数为零时线性组合为零向量判断方法

基与维数基的定义线性无关且张成整个空间的向量组维数的概念空间基向量的个数坐标系统

线性变换1几何意义保持向量加法和数乘运算的映射2矩阵表示通过矩阵完全描述线性变换3核与像描述变换的本质特征

矩阵的基本概念矩阵定义按行列排列的数表方阵行数等于列数的矩阵对角矩阵只有主对角线上有非零元素单位矩阵主对角线元素为1，其余为0

矩阵运算（一）矩阵加法对应元素相加矩阵减法对应元素相减标量乘法所有元素乘以同一数

矩阵运算（二）矩阵乘法行与列的内积运算矩阵转置行列互换矩阵幂矩阵自乘

行列式

行列式的计算1定义法根据排列的定义直接计算2余子式展开按行或列展开3三角化方法初等变换化为上三角矩阵

矩阵的秩r秩的定义线性无关行（列）向量的最大个数n-r零空间维数核空间的维数r(AB)秩不等式矩阵乘积的秩关系

线性方程组矩阵表示Ax=b形式唯一解满秩方程组无穷解欠定方程组

第二部分：高级矩阵理论矩阵的逆可逆条件与计算特征值理论矩阵的内在特性矩阵对角化简化矩阵结构二次型矩阵的几何表示

矩阵的逆可逆条件行列式非零伴随矩阵法A^(-1)=adj(A)/|A|初等变换法[A|I]→[I|A^(-1)]逆的性质(AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)

正交矩阵定义A^TA=I的矩阵性质保持向量长度和角度应用旋转变换、坐标变换

相似矩阵定义A=P^(-1)BP形式的矩阵关系性质有相同的特征值应用矩阵对角化的理论基础

特征值与特征向量定义Ax=λx中的λ和x特征向量方向不变的向量特征值伸缩比例几何意义揭示线性变换的本质

特征值计算特征多项式det(A-λI)=0求解多项式找出所有根代数与几何重数特征值的重复性质

矩阵对角化1对角化条件n个线性无关特征向量2寻找特征向量解(A-λI)x=03构造P矩阵特征向量作为列向量4对角化结果D=P^(-1)AP

Jordan标准型

二次型定义形如x^TAx的二次函数矩阵表示对称矩阵A确定二次型几何意义表示二维曲线、三维曲面

正定矩阵定义对所有非零向量x，x^TAx0判定条件特征值全为正顺序主子式全部大于零应用最优化问题、稳定性分析

第三部分：矩阵分解LU分解三角矩阵分解QR分解正交矩阵与三角矩阵奇异值分解最一般的矩阵分解谱分解对称矩阵的特征分解

LU分解定义A=LU，L为下三角，U为上三角计算方法高斯消元过程的代数表示应用解线性方程组、计算行列式

QR分解1定义A=QR，Q为正交矩阵，R为上三角2Gram-Schmidt正交化构造正交基的过程3计算步骤逐列进行正交化并归一化4应用最小二乘问题、特征值计算

奇异值分解（SVD）1几何解释旋转-拉伸-旋转变换2数学表示A=UΣV^T3奇异值Σ对角线上的元素

谱分解定义A=PDP^(-1)，D为对角矩阵适用条件可对角化矩阵应用求矩阵幂、矩阵函数

第四部分：矩阵计算矩阵范数度量矩阵大小的方法矩阵条件数描述矩阵稳定性迭代算法大型矩阵数值解法最小二乘法寻找最佳拟合解

矩阵范数向量范数p-范数：||x||_p=(∑|x_i|^p)^(1/p)矩阵范数算子范数：||A||_p=max_{||x||_p=1}||Ax||_p常用范数Frobenius范数：||A||_F=√(∑|a_ij|^2)

矩阵条件数κ(A)定义cond(A)=||A||·||A^(-1)||σ_max/σ_min计算公式最大奇异值与最小奇异值之比10^6病态矩阵大条件数导致数值不稳定

迭代法求解线性方程组Jacobi方法利用前一步所有变量值Gauss-Seidel方法利用当前已更新的变量值收敛条件迭代矩阵谱半径小于1

最小二乘法xy

第五部分：高级主题广义逆矩阵非方阵或奇异矩阵的逆矩阵微积分矩阵函数的导数矩阵函数将标量函数扩展到矩阵

广义逆矩阵Moore-Penrose逆满足四个条件的唯一广义逆计算方法A^+=(A^TA)^(-1)A^T（全列秩）应用解最小二乘问题，求欠定方程组解

矩阵微积分标量对矩阵求导?f/?A形式矩阵链式法则复合函数求导最优化应用求解矩阵优化问题

矩阵指数函数定义e^A=I+A+A^2/2!+A^3/3!+...性质e^(A+B)≠e^Ae^B（一般情况）计算方法特征值分解法、幂级