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随机事件与概率知识点总结

在我们的日常生活和学习中，随机事件与概率是一个非常重要的概念。无论是在数学领域、科学研究，还是在日常的决策中，都有着广泛的应用。下面就让我们来详细地了解一下随机事件与概率的相关知识点。

一、随机事件

随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件。简单来说，就是结果不确定的事件。

比如，抛一枚硬币，结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，这就是一个随机事件。

再比如，明天是否会下雨、抽奖是否能中奖、投篮是否能命中等等，都是随机事件。

随机事件可以分为以下几种类型：

1、必然事件：在一定条件下必然会发生的事件。例如，太阳从东方升起就是必然事件。

2、不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。比如，月亮从西方升起就是不可能事件。

3、随机事件：既不是必然事件也不是不可能事件的事件，其结果具有不确定性。

二、概率

概率是用来衡量随机事件发生可能性大小的一个数值。概率的取值范围在0到1之间。

如果一个事件发生的概率为0，则表示这个事件不可能发生；如果概率为1，则表示这个事件必然发生；如果概率在0到1之间，则表示这个事件有可能发生，且概率越大，发生的可能性就越大。

例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为05，反面朝上的概率也为05。

计算概率的方法主要有以下几种：

1、古典概型

如果一个试验中所有可能的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等，那么这个试验就称为古典概型。

在古典概型中，事件A的概率可以通过以下公式计算：

P(A)＝事件A包含的基本事件数／基本事件总数

例如，从装有5个红球和3个白球的袋子中随机取出一个球，取出红球的概率为5／（5＋3)＝5／8。

2、几何概型

如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度、面积或体积成比例，那么这样的概率模型就称为几何概型。

例如，在一个长度为10厘米的线段上随机取一点，该点位于3厘米到6厘米之间的概率为（63)／10＝3／10。

3、频率估计概率

通过大量重复试验，事件发生的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生的概率的估计值。

三、概率的性质

1、0≤P(A)≤1，概率的值在0到1之间。

2、P(必然事件)＝1，必然事件的概率为1。

3、P(不可能事件)＝0，不可能事件的概率为0。

4、如果事件A与事件B互斥（即事件A和事件B不可能同时发生），则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。

5、如果事件A与事件B互为对立事件（即事件A和事件B有且仅有一个发生），则P(B)＝1P(A)。

四、条件概率

条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

例如，已知今天下雨，明天也下雨的概率就是一个条件概率。

条件概率的计算公式为：

P(B|A)＝P(AB)／P(A)，其中P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率。

五、独立事件

独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。

例如，抛两次硬币，第一次抛硬币的结果不会影响第二次抛硬币的结果，这两次抛硬币就是独立事件。

如果事件A和事件B是独立事件，那么P(AB)＝P(A)×P(B)。

六、全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式：如果事件B1，B2，，Bn构成一个完备事件组，且都有正概率，则对任意一个事件A，有

P(A)＝ΣP(Bi)P(A|Bi)（i从1到n）

贝叶斯公式：在已知事件A发生的情况下，求事件Bi发生的概率，有

P(Bi|A)＝P(Bi)P(A|Bi)／ΣP(Bj)P(A|Bj)（i，j从1到n）

七、随机变量

随机变量是用来表示随机现象结果的变量。

例如，抛硬币的结果可以用随机变量X表示，当正面朝上时，X＝1；当反面朝上时，X＝0。

随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。

离散型随机变量的取值是有限个或可列无限个。例如，掷骰子的点数就是一个离散型随机变量。

连续型随机变量的取值可以是某个区间内的任意实数。例如，某地区一天的气温就是一个连续型随机变量。

八、常见的概率分布

1、二项分布

如果进行n次独立重复的试验，每次试验中只有两个可能的结果（成功或失败），且每次试验成功的概率为p，那么成功的次数X服从二项分布B(n,p)。

2、正态分布

正态分布是一种非常常见的连续型概率分布，具有很多良好的性质。它的概率密度函数呈现出“钟形”曲线的形状。

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