向量线性关系秩.pptVIP

推论一向量组的极大线性无关组所含向量的个数是唯一的.易知，向量组?1,?2,…,?s线性无关?R{?1,?2,…,?s}=s.若一向量组的所有向量都是零向量，规定其秩为0.向量组?1,?2,…,?s的秩记为：R{?1,?2,…,?s}定义3.12一向量组的极大线性无关组所含向量的个数,称为向量组的秩.或记为：rank{?1,?2,…,?s}例7中向量组?1,?2,?3,?4的秩R{?1,?2,?3,?4}=3.定理3.9若向量组?1,?2,…,?s可由向量组?1,?2,…,?t线性表示，则推论2向量组?1,?2,…,?p线性无关,且可由向量组?1,?2,…,?q线性表示，则p?q.推论1等价的向量组具有相等的秩．R{?1,?2,…,?s}?R{?1,?2,…,?t}证明记极大线性无关组为:?1,?2,…,?p和?1,?2,…,?q则：向量组?1,?2,…,?p可由?1,?2,…,?q线性表示，于是?1,?2,…,?q是向量组?1,?2,…,?p,?1,?2,…,?q的极大线性无关组.再由?1,?2,…,?p线性无关知p?q.推论3向量组?1,?2,…,?p可由向量组?1,?2,…,?q线性表示，且pq,则向量组?1,?2,…,?p线性相关.推论4任意n+1个n维向量线性相关.证明对矩阵进行一次初等行变换，行向量组变成：定义3.13矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩;矩阵列向量组的秩称为矩阵的列秩.引理初等变换不改变矩阵的行秩和列秩.所以，对矩阵进行一次初等行变换，矩阵的行秩不变.4矩阵的秩类似地,对A进行一次初等列变换,其行秩,列秩也不变.可见,对A进行一次初等行变换,对方程组(※)来说,相当于进行方程之间的对应变换,显然方程组解不变.即再看矩阵的列向量组，A=(?1,?2,…,?n),令就是说,对A进行一次初等行变换,A的列向量组的任意部分组线性相关性不变,所以A的列秩也不变.定理3.10矩阵的列秩等于矩阵的行秩.而?的行向量组和列向量组分别为：证明因为矩阵A可经过初等变换变成标准形，即所以，A的行秩和列秩都等于r.第三章向量线性关系秩向量是线性代数中研究的又一个重要概念,本章主要讨论n维向量之间的线性关系,并建立向量组与矩阵秩的概念.§1向量定义3.1所谓n维向量就是n?1阶矩阵或1?n阶矩阵n维向量就是n个有次序的数a1,a2,…,an组成的数组.ai称为向量的第i个分量.分量全是实数的向量称为实向量.如果两个向量维数相等且对应分量都相等称它们相等.注意:按定义行向量和列向量表示同一个向量,但在涉及到运算时,行向量和列向量总看作两个不同的向量,而且都按矩阵的运算规则进行运算.分量都是零的向量称为零向量,记为0.将向量?的分量都改变符号得到的向量,称为向量?的负向量,记为-?.实际常用列向量,为了便于书写常用其转置?T表示.定义中两种形式分别称为列向量和行向量.常用的向量运算是向量的加法和乘数两种运算,统称为向量的线性运算,完全按矩阵运算处理,所以满足:(ⅰ)交换律：?+?=?+?(ⅱ)结合律:(?+?)+?=?+(?+?)(ⅲ)?+0=?(ⅳ)?+(??)=0(ⅴ)1?=?(ⅶ)数的分配律：(k+l)?=k?+l?(ⅷ)矩阵的分配律：k(?+?)=k?+k?.(ⅵ)结合律：(kl)?=k(l?)所有n维列(行)向量的全体,对其上所定义的加法和乘数两种运算,构成了一个n维线性空间,或称向量空间.但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念,我们可以按数量积的直角坐标计算公式来推广,先定义n维向量内积的概念,反过来定义n维向量的长