2024年新教材高中数学第三章函数1.2.2函数的平均变化率学案新人教B版必修第一册.docxVIP

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第2课时函数的平均改变率

理解函数的平均改变率与函数单调性的关系；了解直线斜率的概念；会用函数的平均改变率证明函数的增减性．

新知初探·自主学习——突出基础性

学问点一直线的斜率

一般地，给定平面直角坐标系中的随意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，当x1≠x2时，称________为直线AB的斜率；当________时，称直线AB的斜率不存在．

学问点二函数的平均改变率

1．一般地，若I是函数y＝f(x)的定义域的子集，对随意x1，x2∈I且x1≠x2，记y1＝f(x1)，y2＝f(x2)，ΔyΔx＝y

(1)y＝f(x)在I上是增函数的充要条件是ΔyΔx________0在I

(2)y＝f(x)在I上是减函数的充要条件是ΔyΔx________0在I

一般地，当x1≠x2时，称ΔfΔx＝fx2-fx1x2-x1为函数y＝f(x)在区间[x1，x2](x1＜x2时)或[x

2．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的单调性为：

(1)当a＞0时，f(x)在____________上单调递减，在______________上单调递增，函数没有最大值，但有最小值________________；

(2)当a＜0时，f(x)在____________________上单调递增，在____________________上单调递减，函数没有最小值，但有最大值____________________.

基础自测

1.直线l经过两点A(－1，3)，B(－1，6)，则直线l的斜率是()

A．1B．－1C．12

2．斜率为2的直线过(3，5)，(a，7)，(－1，b)三点，则a＋b等于()

A．4B．－7C．1D．－1

3．已知函数y＝3x－4，则ΔyΔx

A．大于0B．小于0C．等于0D．不确定

4．如图是函数y＝f(x)的图像．

(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均改变率为________；

(2)函数f(x)在区间[0，2]上的平均改变率为________．

课堂探究·素养提升——强化创新性

题型1三点共线问题

例1已知平面上三点A、B、C，其中A(2，1)，B(3，2)，C(x，4)，则直线AB的斜率为________，若A、B、C三点共线，则x＝________．

教材反思

直线斜率的计算方法

(1)推断两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；

(2)若两点的横坐标不相等，则可以用斜率公式k＝y2-y1x2-x

(3)推断三点共线的问题，就是由这三点随意构造两条直线，若构造的两条直线的斜率相等，则三点共线，否则此三点不共线．

跟踪训练1(1)已知直线经过点A(0，4)和点B(1，2)，则直线AB的斜率为()

A．3B．－2

C．2D．不存在

(2)求证：A(－3，－5)，B(1，3)，C(5，11)三点共线．

题型2求函数的平均改变率

例2已知函数f(x)＝2x2＋1.

(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均改变率；

(2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均改变率；

(3)求当x0＝1，Δx＝12时平均改变

方法归纳

求函数f(x)在[x1，x2]上的平均改变率的方法步骤是：

(1)先求Δx＝x2－x1；

(2)再求Δy＝f(x2)－f(x1)；

(3)由定义求出ΔyΔx＝f

跟踪训练2函数f(x)＝－2x2＋5在区间[2，2＋Δx]上的平均改变率为________．

题型3用函数的平均改变率推断单调性

用函数递增递减的充要条件不必关注x1，x2间的大小，只需x1≠x2即可．

例3证明函数f(x)＝1x

方法归纳

利用函数递增递减的充要条件证明单调性的步骤：

(1)设?x1，x2∈I?定义域，且x1≠x2；

(2)计算ΔfΔx

(3)推断ΔfΔx

(4)依据充要条件得结论．

跟踪训练3证明f(x)＝x是定义域上的增函数．

第2课时函数的平均改变率

新知初探·自主学习

学问点一

y2-y1x2

学问点二

1．(1)＞(2)＜平均改变率

2．(1)-∞，-b2a-b

(2)-∞，-b2a-b

[基础自测]

1．答案：D

2．解析：由题意得2＝7-5a-3＝b-5-1-3，∴a＝4，b＝－3，∴a＋

答案：C

3．答案：A

4．解析：(1)函数f(x)在区间[－1，1]上的平均改变率为f1-f-11--1

(2)由函数f(x)的图像知，f(x)＝x+32，-1≤x≤1，x+1，1＜x≤3，所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均改变率为f2-f

答案：(1)12(2)

课堂探究·素养提升

例1【解析】直线AB的斜率为2-13-2＝1，因为A、B、C三点共线，所以AB与BC斜率相等，