2024_2025学年新教材高中数学第3章指数运算与指数函数33.13.2第2课时指数函数及其性质的应用学案北师大版必修第一册.docVIP

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第2课时指数函数及其性质的应用

类型1指数式的大小比较

【例1】(链接教材第86页例3)比较下列各组数的大小：

(1)1.52.5和1.53.2

(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,11)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,33)))；

(3)1.50.3和0.81.2

[解](1)∵函数y＝1.5x在R上是增函数，2.53.2，∴1.52.51.53.2

(2)指数函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,11)))x与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,33)))x的图象(如图)，由图知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,11)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,33))).

(3)由指数函数的性质知1.50.31.50

而0.81.20.80＝1，∴1.50.30.81.2

比较指数式大小的3种类型及处理方法

eq\a\vs4\al([跟进训练])

1．比较下列各题中两个值的大小：

(1)0.8－0.1,1.250.2；

(2)1.70.3,0.93.1；

(3)a0.5与a0.6(a0，且a≠1)．

[解](1)∵00.81，

∴y＝0.8x在R上是减函数．

∵－0.2－0.1，

∴0.8－0.20.8－0.1，

而0.8－0.2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))－0.2＝1.250.2，

即0.8－0.11.250.2.

(2)∵1.70.31.70＝1,0.93.10.90＝1，

∴1.70.30.93.1.

(3)a0.5与a0.6可看做指数函数y＝ax的两个函数值．

当0a1时，函数y＝ax在R上是减函数．

∵0.50.6，∴a0.5a0.6.

当a1时，函数y＝ax在R上是增函数．

∵0.50.6，∴a0.5a0.6.

综上所述，当0a1时，a0.5a0.6；当a1时，a0.5a0.6.

类型2解含指数型不等式

【例2】求解下列不等式：

(1)已知3x≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.5，求实数x的取值范围；

(2)若a－5xax＋7(a0，且a≠1)，求x的取值范围．

[解](1)因为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.5＝30.5，所以由3x≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.5可得3x≥30.5，因为y＝3x在R上为增函数，故x≥0.5.

(2)①当0a1时，函数y＝ax在R上是减函数，则由a－5xax＋7可得－5xx＋7，解得x－eq\f(7,6).

②当a1时，函数y＝ax在R上是增函数，则由a－5xax＋7可得－5xx＋7，解得x－eq\f(7,6).

综上，当0a1时，x－eq\f(7,6)；当a1时，x－eq\f(7,6).

指数型不等式的解法

(1)指数型不等式af(x)ag(x)(a0，且a≠1)的解法：

当a1时，f(x)g(x)；

当0a1时，f(x)g(x)．

(2)假如不等式的形式不是同底指数式的形式，要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一，此时常用到以下结论：1＝a0(a0，且a≠1)，a－x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x

(a0，且a≠1)等．

eq\a\vs4\al([跟进训练])

2．不等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2≤2x的解集为________．

{x|x≥1，或x≤－2}[∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x2－2＝(2－1)x2－2＝22－x2，

∴原不等式等价于22－x2≤2x.

∵y＝2x是R上的增函数，

∴2－x2≤x，

∴x2＋x－2≥0，即x≤－2或x≥1，

∴原不等式的解集是{x|x≥1，或x≤－2}．]

类型3指数型函数性质的应用

指数型函数的单调性问题

【例3】求函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x＋3的单调区间．

[解]令t＝x2－2x＋3，则由二次函数的性质可知该函数在(－∞，1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，且y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t为减函数，故函数y＝eq\b\lc\(\