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线性代数课件复习：向量空间与线性变换

课程概述向量空间基本概念理解向量、线性组合、基与维数线性变换定义和性质掌握映射特性、矩阵表示、核与像两者联系

第一部分：向量空间8向量公理满足八条基本运算法则3常见空间R^n、矩阵空间、多项式空间∞应用领域

向量空间的定义加法封闭性任意两向量相加仍在空间中数乘封闭性向量与标量相乘仍在空间中8条运算法则

向量空间的例子R^n空间n维实数向量构成的空间最直观的向量空间例子矩阵空间所有m×n矩阵构成的集合矩阵加法和数乘满足向量空间公理多项式空间所有最高次数不超过n的多项式多项式加法和数乘构成向量空间

向量的线性组合定义形如c?v?+c?v?+...+c?v?其中c?,c?,...,c?为实数常数几何解释二维空间中表示为向量的伸缩和相加可视为向量的加权和

线性相关与线性无关线性相关存在非全零系数使线性组合为零向量至少一个向量可由其他向量表示线性无关仅有全零系数使线性组合为零向量每个向量都提供新信息判定方法行列式为零则线性相关解齐次方程组判断

向量组的秩秩的定义向量组中线性无关向量的最大个数等价表述生成子空间的维数计算方法行阶梯形矩阵的非零行数

向量空间的基基的定义线性无关且张成整个空间的向量组基的性质空间中任意向量可唯一表示为基的线性组合标准基R^n中的单位向量组成的基基的变换不同基之间通过可逆变换联系

向量空间的维数定义基中向量的个数与基的关系所有基的向量个数相同性质表征空间的大小例子R^n的维数为n

坐标与坐标变换坐标的定义向量在给定基下的线性组合系数v=c?e?+c?e?+...+c?e?不同基下的坐标变换通过过渡矩阵P实现转换[v]?=P[v]?P由基向量坐标组成

子空间定义向量空间的非空子集，满足向量空间公理子空间判定包含零向量，对加法和数乘封闭例子平面中的一条直线

子空间的运算和S+T={s+t|s∈S,t∈T}交S∩T={v|v∈S且v∈T}直和S⊕T：S+T且S∩T={0}

商空间定义V/U={v+U|v∈V}U是V的子空间性质dim(V/U)=dim(V)-dim(U)等价类的集合陪集形成向量空间

第二部分：线性变换定义与性质保持线性结构的映射矩阵表示通过矩阵刻画变换核与像描述变换的基本特征可逆性一对一对应的条件

线性变换的定义加法保持性T(u+v)=T(u)+T(v)数乘保持性T(cv)=cT(v)线性性保持线性组合

线性变换的性质零向量的像T(0)=0零向量必须映射到零向量线性组合的像T(c?v?+c?v?)=c?T(v?)+c?T(v?)保持线性组合结构子空间的像子空间的像是子空间保持子空间结构

线性变换的矩阵表示定义线性变换可由方阵唯一表示矩阵A的列是基向量的像计算方法确定基向量的像组成变换矩阵AT(v)=A[v]

线性变换的核定义核(T)={v∈V|T(v)=0}性质核是定义域的子空间零度核的维数称为变换的零度

线性变换的像定义像(T)={T(v)|v∈V}性质像是值域的子空间秩像的维数称为变换的秩

线性变换的秩1定义变换像的维数2与矩阵秩的关系等于表示矩阵的秩计算方法计算表示矩阵的秩

线性变换的零度定义变换核的维数与核的维数的关系直接等于核的维数计算方法求解齐次方程组Ax=0

秩-零化度定理=定理内容rank(T)+nullity(T)=dim(V)dim(V)空间维数定义域的维数证明证明思路基础定理，证明通过核与像补空间的同构

线性变换的逆定义T?1°T=I_V且T°T?1=I_W逆变换满足复合等于恒等变换存在条件T是满射且单射当且仅当ker(T)={0}当且仅当rank(T)=dim(V)

可逆线性变换定义存在逆变换的线性变换一对一且满射的变换性质保持维数可逆变换的逆唯一判定矩阵可逆秩等于空间维数

同构线性变换定义存在可逆线性变换的两个空间称为同构1判定条件维数相同的空间同构2意义具有相同的代数结构

线性变换的合成定义(S°T)(v)=S(T(v))矩阵表示[S°T]=[S][T]性质满足结合律但不满足交换律

第三部分：向量空间与线性变换的联系统一视角变换通过矩阵联系不同的向量空间基变换同一空间不同表示之间的关系特征结构揭示变换的内在性质

基变换与线性变换关系基变换影响线性变换矩阵表示表示矩阵随基的选择变化应用选择合适基简化变换表示便于计算特征值和特征向量

线性变换的矩阵与基变换原始基下的矩阵表示[T]_B过渡矩阵P将B表示为C的线性组合新基下的矩阵表示[T]_C=P?1[T]_BP

相似矩阵与线性变换定义A~B??可逆P，使B=P?1AP线性变换视角表示同一线性变换在不同基下的矩阵性质有相同