高考数学一轮总复习第九章解析几何题组训练71专题研究2圆锥曲线中的最值与范围问题.doc

题组训练71专题研究2圆锥曲线中的最值与范围问题

1．(2017·绵阳二诊)若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P在椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为()

A.eq\f(21,4) B．6

C．8 D．12

答案B

解析由题意得F(－1，0)，设P(x，y)，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x，y)·(x＋1，y)＝x2＋x＋y2，又点P在椭圆上，故eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，所以x2＋x＋3－eq\f(3,4)x2＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，又－2≤x≤2，所以当x＝2时，eq\f(1,4)(x＋2)2＋2取得最大值6，即eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为6.

2．(2018·四川成都七中模拟)若直线l过抛物线C：y2＝4x的焦点F交抛物线C于A，B两点，则eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)的取值范围为()

A．{1} B．(0，1]

C．[1，＋∞) D．[eq\f(1,2)，1]

答案A

解析由题意知抛物线C：y2＝4x的焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.设过点F的直线l的斜率k存在，则直线的方程为y＝k(x－1)．代入抛物线方程，得k2(x－1)2＝4x，化简得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1.根据抛物线性质可知，|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，∴eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋1)＋eq\f(1,x2＋1)＝eq\f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋2)＝1.当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝1，把x＝1代入y2＝4x得y＝±2，∴eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝1.故选A.

3．(2018·云南曲靖一中月考)已知点P为圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上的动点，点P到某直线l的最大距离为6.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB，切点为B，则|AB|的最小值是________．

答案2eq\r(3)

解析由C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝4，由圆上动点P到某直线l的最大距离为6，可知圆心C(1，2)到直线l的距离为4.若在直线l上任取一点A作圆的切线AB，切点为B，则要使|AB|最小，需AC⊥l，∴|AB|的最小值是eq\r(42－22)＝2eq\r(3).

4．(2018·河南百校联盟质检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的四个顶点组成的四边形的面积为2eq\r(2)，且经过点(1，eq\f(\r(2),2))．

(1)求椭圆C的方程；

(2)椭圆C的下顶点为P，如图所示，点M为直线x＝2上的一个动点，过椭圆C的右焦点F的直线l垂直于OM，且与C交于A，B两点，与OM交于点N，四边形AMBO和△ONP的面积分别为S1，S2.求S1S2的最大值．

答案(1)eq\f(x2,2)＋y2＝1(2)eq\f(\r(2),2)

解析(1)∵(1，eq\f(\r(2),2))在椭圆C上，∴eq\f(1,a2)＋eq\f(1,2b2)＝1，又∵椭圆四个顶点组成的四边形的面积为2eq\r(2)，∴eq\f(1,2)×2a×2b＝2eq\r(2)，ab＝eq\r(2)，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.

(2)由(1)可知F(1，0)，设M(2，t)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．

则当t≠0时，直线OM的方程为y＝eq\f(t,2)x.所以kAB＝－eq\f(2,t)，直线AB的方程为y＝－eq\f(2,t)(x－1)，即2x＋ty－2＝0(t≠0)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(2,t)（x－1），,x2＋2y2－2＝0，))得(8＋t2)x2－16x＋8－2t2＝0.

则Δ＝(－16)2－4(8＋t2)(8－2t2)＝8(t4＋4t2)0，

x1＋x2＝eq\f(16,8＋t2)，x1x2＝eq\f(8－2t2,8＋t2).

|AB|＝eq\r(1＋kAB2)·eq\f(\r(Δ),8＋t2)＝eq\r(1＋\f(4,t2))·eq\f(2\r(2)\r(t2（t2＋4）),8＋t2)＝e